Упр.786 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Значения переменных $$a$$ и $$b$$ таковы, что $$a+b=7$$, $$ab=2$$. Найдите значение выражения $$a^2+b^2$$.
2. Найдите такое наименьшее натуральное значение $$a$$, при котором выражение $$x^2-4x+2a$$ принимает положительные значения при любом значении $$x$$.

1) Используем формулу квадрата суммы:

$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab.$$

Подставим данные:

$$a^2+b^2=7^2-2\cdot 2=49-4=45.$$

2) Рассмотрим выражение

$$x^2-4x+2a.$$

Чтобы оно принимало положительные значения при любом значении $$x$$, его наименьшее значение должно быть положительным.

Преобразуем:

$$x^2-4x+2a=(x-2)^2+2a-4.$$

Так как $$(x-2)^2 \ge 0$$ при любом $$x$$, наименьшее значение выражения равно $$2a-4$$. Требуем:

$$2a-4>0,$$

$$2a>4,$$

$$a>2.$$

Наименьшее натуральное значение $$a$$ равно $$3$$.

Ответ

$$a^2+b^2=45; \quad a=3.$$