Упр.785 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Существуют ли такие значения $$x$$ и $$y$$, при которых равно нулю значение многочлена:
   1) $$x^2+4y^2+2x-4y+2$$;
   2) $$9x^2+y^2-12x+8y+21$$?
2. Разложите на множители выражение:
   1) $$-\frac{9}{64}n^6-3mn^5-16m^2n^4$$;
   2) $$20z^2+3xy-15xz-4yz$$;
   3) $$0{,}027a^{12}+b^9$$.

1. Преобразуем выражение:

   $$x^2+4y^2+2x-4y+2=x^2+2x+1+4y^2-4y+1=(x+1)^2+(2y-1)^2.$$

   Чтобы сумма квадратов была равна нулю, каждый квадрат должен быть равен нулю:

   $$x+1=0,\quad 2y-1=0.$$

   Отсюда:

   $$x=-1,\quad y=\frac12.$$

2. Преобразуем выражение:

   $$9x^2+y^2-12x+8y+21=9x^2-12x+4+y^2+8y+16+1=(3x-2)^2+(y+4)^2+1.$$

   Так как $$(3x-2)^2 \ge 0$$ и $$(y+4)^2 \ge 0$$, то

   $$(3x-2)^2+(y+4)^2+1 \ge 1.$$

   Следовательно, значение выражения не может быть равно нулю ни при каких $$x$$ и $$y$$.

3. $$-\frac{9}{64}n^6-3mn^5-16m^2n^4=-n^4\left(\frac{9}{64}n^2+3mn+16m^2\right)=-n^4\left(\frac{3}{8}n+4m\right)^2.$$

4. $$20z^2+3xy-15xz-4yz=(20z^2-15xz)+(3xy-4yz)=5z(4z-3x)+y(3x-4z).$$

   Заметим, что $$3x-4z=-(4z-3x)$$, тогда

   $$5z(4z-3x)-y(4z-3x)=(4z-3x)(5z-y).$$

5. $$0{,}027a^{12}+b^9=(0{,}3a^4)^3+(b^3)^3.$$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2).$$

   Тогда

   $$0{,}027a^{12}+b^9=(0{,}3a^4+b^3)(0{,}09a^8-0{,}3a^4b^3+b^6).$$

Ответ

1) $$x=-1,\ y=\frac12$$; 2) таких значений нет; 3) $$-n^4\left(\frac{3}{8}n+4m\right)^2$$; 4) $$\left(4z-3x\right)\left(5z-y\right)$$; 5) $$\left(0{,}3a^4+b^3\right)\left(0{,}09a^8-0{,}3a^4b^3+b^6\right)$$.