Упр.773 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях $$x$$; укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $$x$$:
1) $$x^2-6x+10$$;
2) $$16x^2+24x+25$$;
3) $$x^2+x+1$$. - Рассмотрим правило, по которому каждому натуральному числу поставили в соответствие остаток при делении его на 7. Является ли это правило функцией? В случае утвердительного ответа найдите область определения и область значений этой функции.
Преобразуем выражение к виду полного квадрата:
$$x^2-6x+10=x^2-6x+9+1=(x-3)^2+1.$$
Так как $$(x-3)^2 \ge 0,$$ то
$$(x-3)^2+1 \ge 1.$$
Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$1$$ и достигается при $$x=3$$.
Преобразуем выражение:
$$16x^2+24x+25=16x^2+24x+9+16=(4x+3)^2+16.$$
Так как $$(4x+3)^2 \ge 0,$$ то
$$(4x+3)^2+16 \ge 16.$$
Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$16$$ и достигается при $$4x+3=0,$$ то есть при $$x=-\frac34$$.
Преобразуем выражение:
$$x^2+x+1=x^2+x+\frac14+\frac34=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34.$$
Так как $$\left(x+\frac12\right)^2 \ge 0,$$ то
$$\left(x+\frac12\right)^2+\frac34 \ge \frac34.$$
Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$\frac34$$ и достигается при $$x=-\frac12$$.
Правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие остаток при делении на $$7,$$ является функцией: каждому натуральному числу соответствует единственный остаток.
Область определения: все натуральные числа.
Область значений: $$0,1,2,3,4,5,6.$$
Ответ
1) Наименьшее значение $$1$$ при $$x=3$$.
2) Наименьшее значение $$16$$ при $$x=-\frac34$$.
3) Наименьшее значение $$\frac34$$ при $$x=-\frac12$$.
Правило является функцией; $$D=\mathbb{N},$$ $$E=\{0,1,2,3,4,5,6\}.$$
