Упр.770 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Докажите тождество:
1) $$(a-1)^2+2(a-1)+1=a^2$$;
2) $$(a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2=4b^2$$;
3) $$(a-8)^2+2(a-8)(3-a)+(a-3)^2=25$$;
4) $$(x^n-2)^2-2(x^n-2)(x^n+2)+(x^n+2)^2=16$$, где $$n$$ — произвольное натуральное число. - Рассмотрим функцию $$g$$, заданную следующим правилом: каждому однозначному натуральному числу поставили в соответствие последнюю цифру его квадрата. Найдите:
1) область определения и область значений функции;
2) $$g(7)$$; $$g(3)$$; $$g(1)$$; $$g(9)$$; $$g(4)$$.
1) Раскроем скобки:
$$(a-1)^2+2(a-1)+1=a^2-2a+1+2a-2+1=a^2.$$
Тождество верно.
2) Раскроем скобки и приведём подобные:
$$(a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2$$
$$=a^2+2ab+b^2-2(a^2-b^2)+a^2-2ab+b^2$$
$$=a^2+2ab+b^2-2a^2+2b^2+a^2-2ab+b^2=4b^2.$$
Тождество верно.
3) Раскроем скобки:
$$(a-8)^2+2(a-8)(3-a)+(a-3)^2$$
$$=a^2-16a+64+2(3a-a^2-24+8a)+a^2-6a+9$$
$$=a^2-16a+64+2(11a-a^2-24)+a^2-6a+9$$
$$=a^2-16a+64+22a-2a^2-48+a^2-6a+9=25.$$
Тождество верно.
4) Обозначим $$x^n$$ как одно выражение. Тогда:
$$(x^n-2)^2-2(x^n-2)(x^n+2)+(x^n+2)^2$$
$$=x^{2n}-4x^n+4-2(x^{2n}-4)+x^{2n}+4x^n+4$$
$$=x^{2n}-4x^n+4-2x^{2n}+8+x^{2n}+4x^n+4=16.$$
Тождество верно.
Функция $$g$$ каждому однозначному натуральному числу ставит в соответствие последнюю цифру его квадрата.
Область определения: $$1,2,3,4,5,6,7,8,9.$$
Область значений: $$1,4,5,6,9.$$
Вычислим значения функции:
$$g(7)=7^2=49 \Rightarrow 9,$$
$$g(3)=3^2=9 \Rightarrow 9,$$
$$g(1)=1^2=1 \Rightarrow 1,$$
$$g(9)=9^2=81 \Rightarrow 1,$$
$$g(4)=4^2=16 \Rightarrow 6.$$
Ответ
1) Верно. 2) Верно. 3) Верно. 4) Верно. Область определения: $$1,2,3,4,5,6,7,8,9$$; область значений: $$1,4,5,6,9$$; $$g(7)=9$$, $$g(3)=9$$, $$g(1)=1$$, $$g(9)=1$$, $$g(4)=6$$.
