Упр.769 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Является ли тождеством равенство: $$(a-2)(a-3)(a+3)(a+2)+a^2=(a^2-6)^2$$?
Каждому числу поставили в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта. Поясните, почему описанное правило является функцией. Найдите её область определения и область значений. Обозначив эту функцию буквой $$f$$, найдите $$f(2), f(-5), f(0)$$.

Подробный ответ

Проверим тождество:

$$(a-2)(a-3)(a+3)(a+2)+a^2=(a^2-6)^2$$

Сгруппируем множители:

$$(a-2)(a+2)=a^2-4,\qquad (a-3)(a+3)=a^2-9$$

Тогда левая часть равна

$$(a^2-4)(a^2-9)+a^2$$

Раскроем скобки:

$$a^4-9a^2-4a^2+36+a^2=a^4-12a^2+36$$

Правая часть:

$$(a^2-6)^2=a^4-12a^2+36$$

Левая и правая части совпадают, значит, равенство является тождеством.

Теперь рассмотрим правило, по которому каждому числу ставят в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта.

Такому числу соответствует единственное неотрицательное число — его расстояние до нуля, значит, это правило является функцией.

Эта функция задаётся формулой:

$$f(x)=|x|$$

Область определения:

$$D(f)=\mathbb{R}$$

Область значений:

$$E(f)=[0;+\infty)$$

Найдём значения функции:

$$f(2)=|2|=2,\qquad f(-5)=|-5|=5,\qquad f(0)=|0|=0$$