Упр.769 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

(а-2)(а-3)(а + 3)(а + 2) + а2 = (а2 — б)2? Каждому числу поставили в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта. Поясните, почему описанное правило является функцией. Найдите её область определения и область значений. Обозначив эту функцию буквой f, найдите f(2),f(-5),f(0).

Подробный ответ

Проверим тождество:

$$ (a-2)(a-3)(a+3)(a+2)+a^2=(a^2-6)^2 $$

Сгруппируем множители:

$$ (a-2)(a+2)=a^2-4,\qquad (a-3)(a+3)=a^2-9 $$

Тогда левая часть равна

$$ (a^2-4)(a^2-9)+a^2 $$

Раскроем скобки:

$$ a^4-9a^2-4a^2+36+a^2=a^4-12a^2+36 $$

Правая часть:

$$ (a^2-6)^2=a^4-12a^2+36 $$

Левая и правая части совпадают, значит, равенство является тождеством.

Теперь рассмотрим правило, по которому каждому числу ставят в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта.

Такому числу соответствует единственное неотрицательное число — его расстояние до нуля, значит, это правило является функцией.

Эта функция задаётся формулой:

$$ f(x)=|x| $$

Область определения:

$$ D(f)=\mathbb{R} $$

Область значений:

$$ E(f)=[0;+\infty) $$

Найдём значения функции:

$$ f(2)=|2|=2,\qquad f(-5)=|-5|=5,\qquad f(0)=|0|=0 $$