Упр.752 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Разложите на множители многочлен: 1) $$m^2+2mn+n^2$$; 2) $$b^2-2bc+c^2$$; 3) $$11^2-2\cdot11\cdot p+p^2$$.
Пусть $$x_1,x_2,\ldots,x_{25}$$ — некоторый набор натуральных чисел, а набор $$y_1,y_2,\ldots,y_{25}$$ получен из него в результате перестановки некоторых чисел. Докажите, что значение выражения $$(x_1-y_1)(x_2-y_2)\ldots(x_{25}-y_{25})$$ является чётным числом.

Подробный ответ

Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

Тогда:

$$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2,$$

$$b^2-2bc+c^2=(b-c)^2,$$

$$11^2-2\cdot 11\cdot p+p^2=(11-p)^2.$$

Теперь докажем, что произведение $$\left(x_1-y_1\right)\left(x_2-y_2\right)\cdots\left(x_{25}-y_{25}\right)$$ чётно.

Так как набор $$y_1,y_2,\ldots,y_{25}$$ получен из набора $$x_1,x_2,\ldots,x_{25}$$ перестановкой, то среди чисел $$x_i$$ и $$y_i$$ есть хотя бы одно чётное число. Тогда для некоторого номера $$i$$ разность $$x_i-y_i$$ будет чётной, потому что:

разность двух нечётных чисел — чётное число;
разность двух чётных чисел — чётное число;
если одно число чётное, а другое нечётное, то разность нечётна, но в наборе из 25 чисел при перестановке обязательно найдётся хотя бы одна пара с одинаковой чётностью, дающая чётную разность.

Следовательно, в произведении есть хотя бы один чётный множитель, а значит, всё произведение чётно.