Упр.748 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Известно, что натуральные числа $$m$$ и $$n$$ таковы, что значение выражения $$10m+n$$ делится нацело на $$11$$. Докажите, что значение выражения $$(10m+n)(10n+m)$$ делится нацело на $$121$$.
2. На координатной плоскости отметьте точки: $$A(2; 3)$$; $$B(4; -5)$$; $$C(-3; 7)$$; $$D(-2; 2)$$; $$K(-2; -2)$$; $$M(0; 2)$$; $$N(-3; 0)$$; $$P(1; -6)$$; $$F(-4; -2)$$.

Так как $$10m+n$$ делится на $$11$$, то существует натуральное число $$a$$ такое, что

$$10m+n=11a.$$

Тогда

$$10n+m=10(11a-10m)+m,$$

но удобнее заметить, что из делимости $$10m+n$$ на $$11$$ следует и делимость на $$11$$ числа $$10n+m$$, поскольку

$$10m+n \equiv 0 \pmod{11} \Rightarrow 10(10m+n)\equiv 0 \pmod{11}.$$

Так как $$10\equiv -1 \pmod{11}$$, получаем

$$10(10m+n)=100m+10n \equiv m+10n \equiv 10n+m \pmod{11}.$$

Значит, $$10n+m$$ тоже делится на $$11$$. Поэтому существует натуральное число $$b$$ такое, что

$$10n+m=11b.$$

Тогда

$$(10m+n)(10n+m)=11a\cdot 11b=121ab,$$

то есть данное выражение делится нацело на $$121$$.

Ответ

$$(10m+n)(10n+m)$$ делится нацело на $$121$$.