Упр.744 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Какое наименьшее значение и при каком значении переменной может принимать выражение: 1) $$x^2$$; 2) $$x^2-16$$; 3) $$(x+4)^2+20$$?
2. Решите уравнение: 1) $$|7x-3|=4$$; 2) $$\bigl||x|-10\bigr|=8$$; 3) $$4(x-2)+5|x|=10$$; 4) $$|x|=3x-8$$.

1. $$x^2 \ge 0$$

   Наименьшее значение выражения $$x^2$$ равно $$0$$, оно достигается при $$x=0$$.

2. $$x^2-16 \ge -16$$

   Наименьшее значение выражения $$x^2-16$$ равно $$-16$$, оно достигается при $$x=0$$.

3. $$\left(x+4\right)^2+20 \ge 20$$

   Наименьшее значение выражения $$\left(x+4\right)^2+20$$ равно $$20$$, оно достигается при $$x+4=0$$, то есть при $$x=-4$$.

4. $$|7x-3|=4$$

   $$7x-3=4 \quad \text{или} \quad 7x-3=-4$$

   $$7x=7 \Rightarrow x=1$$

   $$7x=-1 \Rightarrow x=-\frac17$$

5. $$\left||x|-10\right|=8$$

   $$|x|-10=8 \quad \text{или} \quad |x|-10=-8$$

   $$|x|=18 \quad \text{или} \quad |x|=2$$

   Тогда
   $$x=\pm 18 \quad \text{или} \quad x=\pm 2.$$

6. $$4(x-2)+5|x|=10$$

   $$4x-8+5|x|=10$$

   $$4x+5|x|=18$$

   Рассмотрим два случая.

   Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, и тогда
   $$4x+5x=18$$
   $$9x=18$$
   $$x=2.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, и тогда
   $$4x-5x=18$$
   $$-x=18$$
   $$x=-18.$$

7. $$|x|=3x-8$$

   Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$3x-8 \ge 0$$.

   Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$:
   $$x=3x-8$$
   $$-2x=-8$$
   $$x=4.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
   $$-x=3x-8$$
   $$-4x=-8$$
   $$x=2,$$
   но это не подходит, так как $$x<0$$.

   Значит, подходит только $$x=4$$.

Ответ

1) $$0$$, при $$x=0$$;
2) $$-16$$, при $$x=0$$;
3) $$20$$, при $$x=-4$$;
4) $$x=-\frac17,\ 1$$;
5) $$x=\pm 2,\ \pm 18$$;
6) $$x=-18,\ 2$$;
7) $$x=4$$.