Упр.740 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа.
- Представьте в виде произведения выражение:
1) $$x^4+5x^2+9$$;
2) $$x^4-8x^2+4$$.
Пусть пять последовательных натуральных чисел: $$n,\; n+1,\; n+2,\; n+3,\; n+4.$$
Тогда их сумма квадратов равна
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2$$
$$= n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4)+(n^2+6n+9)+(n^2+8n+16)$$
$$= 5n^2+20n+30=5(n^2+4n+6).$$
Полученное выражение делится на $$5$$, но не является квадратом натурального числа, так как квадрат натурального числа при делении на $$5$$ может давать только остатки $$0,1,4$$, а здесь после выделения множителя $$5$$ остаётся число $$n^2+4n+6$$, которое не может сделать всё выражение квадратом. Следовательно, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
1) $$x^4+5x^2+9$$
$$x^4+5x^2+9=x^4+6x^2+9-x^2=(x^2+3)^2-x^2$$
$$=(x^2+3-x)(x^2+3+x).$$
2) $$x^4-8x^2+4$$
$$x^4-8x^2+4=x^4-4x^2+4-4x^2=(x^2-2)^2-(2x)^2$$
$$=(x^2-2-2x)(x^2-2+2x).$$
Ответ
Сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
1) $$x^4+5x^2+9=(x^2+3-x)(x^2+3+x).$$
2) $$x^4-8x^2+4=(x^2-2-2x)(x^2-2+2x).$$
