Упр.739 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите тождество: $$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(m^2+n^2+k^2\right)-\left(am+bn+ck\right)^2=\left(an-bm\right)^2+\left(ak-cm\right)^2+\left(bk-cn\right)^2$$.
Разложите на множители:
1) $$x^4-5x^2+4$$;
2) $$x^4+x^2+1$$;
3) $$4x^4-12x^2+1$$;
4) $$x^5+x+1$$;
5) $$x^4+4$$;
6) $$x^8+x^4-2$$.

Подробный ответ

1) Докажем тождество.

$$(a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+k^2)-(am+bn+ck)^2$$
$$=a^2m^2+a^2n^2+a^2k^2+b^2m^2+b^2n^2+b^2k^2+c^2m^2+c^2n^2+c^2k^2$$
$$-a^2m^2-b^2n^2-c^2k^2-2abmn-2ackm-2bcnk$$
$$=a^2n^2+a^2k^2+b^2m^2+b^2k^2+c^2m^2+c^2n^2-2abmn-2ackm-2bcnk$$
$$=(an-bm)^2+(ak-cm)^2+(bk-cn)^2.$$

2) Разложим на множители.

$$x^4-5x^2+4=x^4-4x^2+4-x^2=(x^2-2)^2-x^2$$
$$=(x^2-2-x)(x^2-2+x)=(x^2-x-2)(x^2+x-2)$$
$$=(x-2)(x+1)(x-1)(x+2).$$
$$x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2$$
$$=(x^2+1-x)(x^2+1+x).$$
$$4x^4-12x^2+1=4x^4+4x^2+1-16x^2=(2x^2+1)^2-(4x)^2$$
$$=(2x^2+1-4x)(2x^2+1+4x).$$
$$x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+(x^2+x+1)$$
$$=x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)$$
$$=(x^2+x+1)\bigl(x^2(x-1)+1\bigr) =(x^2+x+1)(x^3-x^2+1).$$
$$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2$$
$$=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x).$$
$$x^8+x^4-2=x^8-2x^4+1+3x^4-3=(x^4-1)^2+3(x^4-1)$$
$$=(x^4-1)(x^4+2)=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+2)$$
$$=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+2).$$