Упр.738 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: $$(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2.$$
2. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(2n-1)^3-4n^2+2n+1$$ делится нацело на $$16$$.

1) Раскроем скобки в левой части:

$$(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2 = (4n^2+4n+1)+(4n^4+8n^3+4n^2)$$
$$=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1.$$

Теперь раскроем квадрат правой части:

$$(2n^2+2n+1)^2 = (2n^2+2n)^2+2(2n^2+2n)+1$$
$$=4n^4+8n^3+4n^2+4n^2+4n+1 =4n^4+8n^3+8n^2+4n+1.$$

Левая и правая части равны, значит, тождество доказано.

2) Проверим делимость выражения $$(2n-1)^3-4n^2+2n+1$$ на $$16$$:

$$(2n-1)^3-4n^2+2n+1 = (8n^3-12n^2+6n-1)-4n^2+2n+1$$
$$=8n^3-16n^2+8n =8n(n^2-2n+1) =8n(n-1)^2.$$

Так как среди двух соседних чисел $$n$$ и $$n-1$$ одно чётное, то произведение $$n(n-1)$$ делится на $$2$$. Тогда $$n(n-1)^2$$ тоже делится на $$2$$, а значит, выражение $$8n(n-1)^2$$ делится на $$16$$.

Ответ

$$(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2,$$
а выражение $$(2n-1)^3-4n^2+2n+1$$ при любом натуральном $$n$$ делится на $$16$$.