Упр.738 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

(2n +1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 +2n + 1)2.
Данное тождество является правилом великого древнегреческого учёного Пифагора (VT в. до н. э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений 2n + 1; 2n2 + 2n; 2n1 + 2n + 1 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (2n — 1)3 — 4а2 + 2n + 1 делится нацело на 16.

1) Раскроем скобки в левой части:

$$ (2n+1)^2+(2n^2+2n)^2 = (4n^2+4n+1)+(4n^4+8n^3+4n^2) $$
$$ =4n^4+8n^3+8n^2+4n+1. $$

Теперь раскроем квадрат правой части:

$$ (2n^2+2n+1)^2 = (2n^2+2n)^2+2(2n^2+2n)+1 $$
$$ =4n^4+8n^3+4n^2+4n^2+4n+1 =4n^4+8n^3+8n^2+4n+1. $$

Левая и правая части равны, значит, тождество доказано.

2) Проверим делимость выражения $$ (2n-1)^3-4n^2+2n+1 $$ на $$16$$:

$$ (2n-1)^3-4n^2+2n+1 = (8n^3-12n^2+6n-1)-4n^2+2n+1 $$
$$ =8n^3-16n^2+8n =8n(n^2-2n+1) =8n(n-1)^2. $$

Так как среди двух соседних чисел $$n$$ и $$n-1$$ одно чётное, то произведение $$n(n-1)$$ делится на $$2$$. Тогда $$n(n-1)^2$$ тоже делится на $$2$$, а значит, выражение $$8n(n-1)^2$$ делится на $$16$$.

Ответ

$$ (2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2, $$
а выражение $$ (2n-1)^3-4n^2+2n+1 $$ при любом натуральном $$n$$ делится на $$16$$.