Упр.737 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$a$$ уравнение $$\left(2a-3x\right)^2+\left(x-1\right)^2=10\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$ не имеет корней?
2. Значения переменных $$x$$ и $$y$$ таковы, что выполняются равенства $$x+y=6$$, $$xy=-3$$. Найдите значение выражения:
   1) $$x^3y^2+x^2y^3$$;
   2) $$\left(x-y\right)^2$$;
   3) $$x^4+y^4$$.

1. Раскроем скобки и приведём подобные:

   $$(2a-3x)^2+(x-1)^2=10(x-2)(x+2)$$

   $$4a^2-12ax+9x^2+x^2-2x+1=10(x^2-4)$$

   $$4a^2-12ax+10x^2-2x+1=10x^2-40$$

   $$4a^2-12ax-2x+41=0$$

   Это линейное уравнение относительно $$x$$. Чтобы оно не имело корней, коэффициент при $$x$$ должен быть равен нулю, а свободный член — не равен нулю:

   $$-12a-2=0$$

   $$a=-\frac16$$

   Проверим свободный член:

   $$4\left(-\frac16\right)^2+41=\frac19+41\ne 0$$

   Значит, при $$a=-\frac16$$ уравнение не имеет корней.

2. Так как $$x+y=6$$ и $$xy=-3$$, найдём значения выражений:

   $$x^3y^2+x^2y^3=x^2y^2(x+y)=(xy)^2(x+y)=(-3)^2\cdot 6=54$$

   $$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=6^2-4\cdot(-3)=36+12=48$$

   $$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$$

   Найдём $$x^2+y^2$$:

   $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=6^2-2\cdot(-3)=36+6=42$$

   Тогда

   $$x^4+y^4=42^2-2\cdot(-3)^2=1764-18=1746$$

Ответ

1) $$a=-\frac16$$; 2) $$54$$; 3) $$48$$; 4) $$1746$$.