Упр.736 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

При каком значении $$a$$ уравнение $$(6x-a)^2+(8x-3)^2=(10x-3)^2$$ не имеет корней?
Значения переменных $$x_1$$ и $$x_2$$ таковы, что выполняются равенства $$x_1-x_2=x_1x_2=5$$. Найдите значение выражения:

1) $$x_1x_2^2-x_1^2x_2$$;

2) $$x_1^2+x_2^2$$;

3) $$(x_1+x_2)^2$$;

4) $$x_1^3-x_2^3$$.

Подробный ответ

1) Рассмотрим уравнение

$$(6x-a)^2+(8x-3)^2=(10x-3)^2.$$

Раскроем скобки:

$$36x^2-12ax+a^2+64x^2-48x+9=100x^2-60x+9.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$36x^2+64x^2-100x^2-12ax-48x+60x+a^2=0,$$

$$-12ax+12x+a^2=0,$$

$$12x(1-a)+a^2=0.$$

Чтобы уравнение не имело корней, коэффициент при $$x$$ должен быть равен нулю, а свободный член — не равен нулю. Тогда

$$1-a=0, \quad a=1.$$

При $$a=1$$ получаем

$$1^2=0,$$

что неверно, значит корней действительно нет.

Следовательно, $$a=1$$.

2) Дано: $$x_1-x_2=8,$$ $$x_1x_2=5.$$ Найдём значения выражений.

$$x_1x_2^2-x_1^2x_2=x_1x_2(x_2-x_1)=-x_1x_2(x_1-x_2)=-5\cdot 8=-40.$$
$$x_1^2+x_2^2=(x_1-x_2)^2+2x_1x_2=8^2+2\cdot 5=64+10=74.$$
$$(x_1+x_2)^2=(x_1-x_2)^2+4x_1x_2=8^2+4\cdot 5=64+20=84.$$
$$x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2).$$
Так как
$$x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1-x_2)^2+3x_1x_2=8^2+3\cdot 5=64+15=79,$$
то
$$x_1^3-x_2^3=8\cdot 79=632.$$