Упр.733 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Остаток при делении некоторого натурального числа на 11 равен 6. Чему равен остаток при делении на 11 квадрата этого числа?
Представьте в виде произведения выражение:
1) $$\left(5x-y^2\right)\left(5x+y^2\right)-2\left(15x-7y^2\right)-40$$;
2) $$\left(3m-2n\right)\left(12m+5a\right)+3m\left(3a+4\right)-2\left(3n^2-20n+12\right)$$.

Подробный ответ

Пусть данное натуральное число равно $$n=11x+6.$$ Тогда

$$n^2=(11x+6)^2=121x^2+132x+36=11(11x^2+12x+3)+3.$$

Так как $$11(11x^2+12x+3)$$ делится на $$11$$, то остаток при делении $$n^2$$ на $$11$$ равен $$3$$.

1) Преобразуем выражение:

$$(5x-y^2)(5x+y^2)-2(15x-7y^2)-40$$
$$=25x^2-y^4-30x+14y^2-40$$
$$=25x^2-30x+9-y^4+14y^2-49$$
$$=(5x-3)^2-(y^2-7)^2$$
$$=(5x-3-y^2+7)(5x-3+y^2-7)$$
$$=(5x-y^2+4)(5x+y^2-10).$$

2) Преобразуем выражение:

$$(3m-2n)(12m+5n)+3m(3n+4)-2(3n^2-20n+12)$$
$$=36m^2+15mn-24mn-10n^2+9mn+12m-6n^2+40n-24$$
$$=36m^2-16n^2+12m+40n-24$$
$$=(36m^2+12m+1)-(16n^2-40n+25)$$
$$=(6m+1)^2-(4n-5)^2$$
$$=(6m+1-4n+5)(6m+1+4n-5)$$
$$=(6m-4n+6)(6m+4n-4)$$
$$=4(3m-2n+3)(3m+2n-2).$$