Упр.732 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Остаток при делении некоторого натурального числа на $$9$$ равен $$5$$. Чему равен остаток при делении на $$9$$ квадрата этого числа?
2. Разложите на множители выражение:
   
   1) $$(x-y)(x+y)+2(x+3y)-8$$;
   
   2) $$(2a-3b)(2a+3b)-4(a+3b)-3$$.

Пусть число имеет вид $$n=9k+5,$$ где $$k$$ — натуральное число. Тогда

$$n^2=(9k+5)^2=81k^2+90k+25.$$

Представим это выражение в виде суммы, кратной $$9,$$ и остатка:

$$81k^2+90k+25=9(9k^2+10k+2)+7.$$

Значит, остаток при делении $$n^2$$ на $$9$$ равен $$7$$.

1) $$(x-y)(x+y)+2(x+3y)-8$$

$$(x-y)(x+y)+2(x+3y)-8=x^2-y^2+2x+6y-8$$

$$=x^2+2x+1-y^2+6y-9$$

$$=(x+1)^2-(y-3)^2$$

$$=(x+1-y+3)(x+1+y-3)$$

$$=(x-y+4)(x+y-2).$$

2) $$(2a-3b)(2a+3b)-4(a+3b)-3$$

$$(2a-3b)(2a+3b)-4(a+3b)-3=4a^2-9b^2-4a-12b-3$$

$$=4a^2-4a+1-(9b^2+12b+4)$$

$$=(2a-1)^2-(3b+2)^2$$

$$=(2a-1-3b-2)(2a-1+3b+2)$$

$$=(2a-3b-3)(2a+3b+1).$$

Ответ

Остаток равен $$7$$.

1) $$(x-y)(x+y)+2(x+3y)-8=(x-y+4)(x+y-2)$$

2) $$(2a-3b)(2a+3b)-4(a+3b)-3=(2a-3b-3)(2a+3b+1)$$