Упр.731 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (а + b + с)3 — а3 — b3 — с3 = 3(а + b)(b + с)(а + с);
2) (а — b)3 +(b- с)3 — (а- с)3 = -3 (а -b)(b- с) (а — с).

Пусть натуральное число имеет вид $$25n+5$$, где $$n$$ — натуральное число или $$n=0$$.

Тогда

$$ (25n+5)^2=625n^2+250n+25=25(25n^2+10n+1). $$

Следовательно, квадрат этого числа делится на $$25$$.

1) Раскроем скобки в левой части:

$$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 $$
$$ =(a+b+c)^3-a^3-(b^3+c^3). $$

Используем формулы разности кубов:

$$ (a+b+c)^3-a^3=(b+c)\bigl((a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2\bigr), $$
$$ b^3+c^3=(b+c)(b^2-bc+c^2). $$

Тогда

$$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 $$
$$ =(b+c)\Bigl((a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2-(b^2-bc+c^2)\Bigr). $$

После упрощения получаем:

$$ (b+c)(3a^2+3ab+3ac+3bc)=3(b+c)(a^2+ab+ac+bc). $$

Сгруппируем:

$$ a^2+ab+ac+bc=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c). $$

Значит,

$$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c). $$

2) Аналогично:

$$ (a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3 $$
$$ =(a-b)^3+(b-c)^3-\bigl((a-b)+(b-c)\bigr)^3. $$

По формуле

$$ x^3+y^3-(x+y)^3=-3xy(x+y) $$
при $$x=a-b$$ и $$y=b-c$$ получаем:

$$ (a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c). $$

Ответ

Если остаток при делении натурального числа на $$25$$ равен $$5$$, то его квадрат кратен $$25$$. Тождества верны:

$$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c), $$
$$ (a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c). $$