Упр.731 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на $$25$$ равен $$5$$, то квадрат этого числа кратен $$25$$.
2. Докажите тождество:
   1) $$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c);$$
   2) $$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c).$$

Пусть натуральное число имеет вид $$25n+5$$, где $$n$$ — натуральное число или $$n=0$$.

Тогда

$$(25n+5)^2=625n^2+250n+25=25(25n^2+10n+1).$$

Следовательно, квадрат этого числа делится на $$25$$.

1) Раскроем скобки в левой части:

$$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$$
$$=(a+b+c)^3-a^3-(b^3+c^3).$$

Используем формулы разности кубов:

$$(a+b+c)^3-a^3=(b+c)\bigl((a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2\bigr),$$
$$b^3+c^3=(b+c)(b^2-bc+c^2).$$

Тогда

$$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$$
$$=(b+c)\Bigl((a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2-(b^2-bc+c^2)\Bigr).$$

После упрощения получаем:

$$(b+c)(3a^2+3ab+3ac+3bc)=3(b+c)(a^2+ab+ac+bc).$$

Сгруппируем:

$$a^2+ab+ac+bc=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c).$$

Значит,

$$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c).$$

2) Аналогично:

$$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3$$
$$=(a-b)^3+(b-c)^3-\bigl((a-b)+(b-c)\bigr)^3.$$

По формуле

$$x^3+y^3-(x+y)^3=-3xy(x+y)$$
при $$x=a-b$$ и $$y=b-c$$ получаем:

$$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c).$$

Ответ

Если остаток при делении натурального числа на $$25$$ равен $$5$$, то его квадрат кратен $$25$$. Тождества верны:

$$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c),$$
$$(a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=-3(a-b)(b-c)(a-c).$$