Упр.730 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на $$16$$ равен $$4$$, то квадрат этого числа делится нацело на $$16$$.
2. Представьте в виде куба двучлена выражение:
   а) $$a^3+3a^2+3a+1$$;
   б) $$b^3-6b^2+12b-8$$.

Пусть натуральное число имеет вид $$16k+4$$, где $$k$$ — натуральное число или ноль. Тогда

$$(16k+4)^2=256k^2+128k+16=16(16k^2+8k+1).$$

Следовательно, квадрат этого числа делится нацело на $$16$$.

1) Преобразуем выражение:

$$a^3+3a^2+3a+1=(a^3+1)+3a(a+1)$$

$$=(a+1)(a^2-a+1)+3a(a+1)$$

$$=(a+1)(a^2-a+1+3a)$$

$$=(a+1)(a^2+2a+1)$$

$$=(a+1)(a+1)^2=(a+1)^3.$$

2) Аналогично:

$$b^3-6b^2+12b-8=(b^3-8)-6b(b-2)$$

$$=(b-2)(b^2+2b+4)-6b(b-2)$$

$$=(b-2)(b^2+2b+4-6b)$$

$$=(b-2)(b^2-4b+4)$$

$$=(b-2)(b-2)^2=(b-2)^3.$$

Ответ

$$(16k+4)^2 \text{ делится на } 16;$$
$$a^3+3a^2+3a+1=(a+1)^3;$$
$$b^3-6b^2+12b-8=(b-2)^3.$$