Упр.729 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Разложите выражение на множители двумя способами:
а) примените формулу разности квадратов;
б) раскройте скобки и примените метод группировки:
1) (ab +1)2 — (а + b)2;
2) (а + 2b)2 — (ab + 2)2.

Пусть дано нечётное натуральное число $$2n+1$$. Тогда

$$ (2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1. $$

Числа $$n$$ и $$n+1$$ — соседние натуральные, значит, одно из них делится на $$2$$. Тогда произведение $$n(n+1)$$ делится на $$2$$, а выражение $$4n(n+1)$$ делится на $$8$$.

Следовательно, квадрат нечётного натурального числа при делении на $$8$$ даёт остаток $$1$$.

1) Разложим на множители:

а)

$$ (ab+1)^2-(a+b)^2= \bigl((ab+1)-(a+b)\bigr)\bigl((ab+1)+(a+b)\bigr) $$

$$ =(ab-a-b+1)(ab+a+b+1) $$

$$ =(a(b-1)-(b-1))\bigl(a(b+1)+(b+1)\bigr) $$

$$ =(b-1)(a-1)(b+1)(a+1). $$

б)

$$ (ab+1)^2-(a+b)^2=a^2b^2+2ab+1-a^2-2ab-b^2 $$

$$ =a^2b^2-a^2-b^2+1 =a^2(b^2-1)-(b^2-1) $$

$$ =(b^2-1)(a^2-1) =(b-1)(b+1)(a-1)(a+1). $$

2) Разложим на множители:

а)

$$ (a+2b)^2-(ab+2)^2= \bigl((a+2b)-(ab+2)\bigr)\bigl((a+2b)+(ab+2)\bigr) $$

$$ =(a-ab+2b-2)(a+ab+2b+2) $$

$$ =(a(1-b)-2(1-b))\bigl(a(1+b)+2(1+b)\bigr) $$

$$ =(1-b)(a-2)(1+b)(a+2). $$

б)

$$ (a+2b)^2-(ab+2)^2=a^2+4ab+4b^2-a^2b^2-4ab-4 $$

$$ =a^2+4b^2-a^2b^2-4 =(a^2-a^2b^2)+(4b^2-4) $$

$$ =a^2(1-b^2)-4(1-b^2) =(1-b^2)(a^2-4) $$

$$ =(1-b)(1+b)(a-2)(a+2). $$

Ответ

Остаток равен $$1$$.

$$ (ab+1)^2-(a+b)^2=(b-1)(b+1)(a-1)(a+1) $$
$$ (a+2b)^2-(ab+2)^2=(1-b)(1+b)(a-2)(a+2) $$