Упр.729 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Чему равен остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на $$8$$?
- Разложите выражение на множители двумя способами:
а) примените формулу разности квадратов;
б) раскройте скобки и примените метод группировки:
1) $$(ab+1)^2-(a+b)^2$$;
2) $$(a+2b)^2-(ab+2)^2$$.
Пусть дано нечётное натуральное число $$2n+1$$. Тогда
$$(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1.$$
Числа $$n$$ и $$n+1$$ — соседние натуральные, значит, одно из них делится на $$2$$. Тогда произведение $$n(n+1)$$ делится на $$2$$, а выражение $$4n(n+1)$$ делится на $$8$$.
Следовательно, квадрат нечётного натурального числа при делении на $$8$$ даёт остаток $$1$$.
1) Разложим на множители:
а)
$$(ab+1)^2-(a+b)^2= \bigl((ab+1)-(a+b)\bigr)\bigl((ab+1)+(a+b)\bigr)$$
$$=(ab-a-b+1)(ab+a+b+1)$$
$$=(a(b-1)-(b-1))\bigl(a(b+1)+(b+1)\bigr)$$
$$=(b-1)(a-1)(b+1)(a+1).$$
б)
$$(ab+1)^2-(a+b)^2=a^2b^2+2ab+1-a^2-2ab-b^2$$
$$=a^2b^2-a^2-b^2+1 =a^2(b^2-1)-(b^2-1)$$
$$=(b^2-1)(a^2-1) =(b-1)(b+1)(a-1)(a+1).$$
2) Разложим на множители:
а)
$$(a+2b)^2-(ab+2)^2= \bigl((a+2b)-(ab+2)\bigr)\bigl((a+2b)+(ab+2)\bigr)$$
$$=(a-ab+2b-2)(a+ab+2b+2)$$
$$=(a(1-b)-2(1-b))\bigl(a(1+b)+2(1+b)\bigr)$$
$$=(1-b)(a-2)(1+b)(a+2).$$
б)
$$(a+2b)^2-(ab+2)^2=a^2+4ab+4b^2-a^2b^2-4ab-4$$
$$=a^2+4b^2-a^2b^2-4 =(a^2-a^2b^2)+(4b^2-4)$$
$$=a^2(1-b^2)-4(1-b^2) =(1-b^2)(a^2-4)$$
$$=(1-b)(1+b)(a-2)(a+2).$$
Ответ
Остаток равен $$1$$.
$$(ab+1)^2-(a+b)^2=(b-1)(b+1)(a-1)(a+1)$$
$$(a+2b)^2-(ab+2)^2=(1-b)(1+b)(a-2)(a+2)$$
