Упр.728 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Древнегреческий учёный Евклид (III в. до н. э.) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности геометрически. Пользуясь рисунками 5 и 6, восстановите его доказательство.
2. Докажите тождество:
   1) $$\left(a+2\right)^3-25\left(a+2\right)=\left(a+2\right)\left(a+7\right)\left(a-3\right);$$
   2) $$a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2=\left(a+b+c-d\right)\left(a+b-c+d\right).$$

1) Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов:

$$(a+2)^3-25(a+2)=(a+2)\bigl((a+2)^2-25\bigr)$$

$$(a+2)\bigl((a+2)-5\bigr)\bigl((a+2)+5\bigr)=(a+2)(a-3)(a+7)$$

Следовательно,

$$(a+2)^3-25(a+2)=(a+2)(a+7)(a-3).$$

2) Сгруппируем слагаемые:

$$a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2=(a^2+2ab+b^2)-(c^2-2cd+d^2)$$

$$=(a+b)^2-(c-d)^2$$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$$(a+b)^2-(c-d)^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d).$$

Значит,

$$a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d).$$

Ответ

1) $$(a+2)^3-25(a+2)=(a+2)(a+7)(a-3)$$

2) $$a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d)$$