Упр.727 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

(а + b + с)2 = а2 + b2 + с2 + 2ab + 2bс + 2ас.
Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:
1) (a + b-с)2;
2) (а-b + 4)2.
Является ли тождеством равенство:
1) (а -1)3 — 9(а -1) = (а — 1)(а — 4)(а + 2);
2) (х2 +1) — 4×2 = (х — 1)2(x + 1)2?

Используем формулу квадрата трёхчлена:

$$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc. $$

1) Для выражения $$ (a+b-c)^2 $$ получаем:

$$ (a+b-c)^2=a^2+b^2+(-c)^2+2ab+2a(-c)+2b(-c) $$

$$ (a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc. $$

2) Для выражения $$ (a-b+4)^2 $$ получаем:

$$ (a-b+4)^2=a^2+(-b)^2+4^2+2a(-b)+2a\cdot 4+2(-b)\cdot 4 $$

$$ (a-b+4)^2=a^2+b^2+16-2ab+8a-8b. $$

Проверим тождества.

1)

$$ (a-1)^3-9(a-1)=(a-1)\bigl((a-1)^2-9\bigr) $$

$$ =(a-1)\bigl(a^2-2a+1-9\bigr)=(a-1)(a^2-2a-8) $$

$$ =(a-1)(a-4)(a+2). $$

Значит, это тождество.

2)

$$ (x^2+1)-4x^2=1-3x^2, $$

а

$$ (x-1)^2(x+1)^2=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1. $$

Левые и правые части не равны при всех значениях $$x$$, значит, это не тождество.

Ответ

1) $$ (a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc; $$

2) $$ (a-b+4)^2=a^2+b^2+16-2ab+8a-8b. $$

1) Да, это тождество.

2) Нет, это не тождество.