Упр.727 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Выведите формулу квадрата трёхчлена. Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение: 1) $$(a+b-c)^2$$; 2) $$(a-b+4)^2$$.
2. Является ли тождеством равенство: 1) $$(a-1)^3-9(a-1)=(a-1)(a-4)(a+2)$$; 2) $$(x^2+1)-4x^2=(x-1)^2(x+1)^2$$?

Используем формулу квадрата трёхчлена:

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$$

1) Для выражения $$(a+b-c)^2$$ получаем:

$$(a+b-c)^2=a^2+b^2+(-c)^2+2ab+2a(-c)+2b(-c)$$

$$(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc.$$

2) Для выражения $$(a-b+4)^2$$ получаем:

$$(a-b+4)^2=a^2+(-b)^2+4^2+2a(-b)+2a\cdot 4+2(-b)\cdot 4$$

$$(a-b+4)^2=a^2+b^2+16-2ab+8a-8b.$$

Проверим тождества.

1)

$$(a-1)^3-9(a-1)=(a-1)\bigl((a-1)^2-9\bigr)$$

$$=(a-1)\bigl(a^2-2a+1-9\bigr)=(a-1)(a^2-2a-8)$$

$$=(a-1)(a-4)(a+2).$$

Значит, это тождество.

2)

$$(x^2+1)-4x^2=1-3x^2,$$

а

$$(x-1)^2(x+1)^2=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1.$$

Левые и правые части не равны при всех значениях $$x$$, значит, это не тождество.

Ответ

1) $$(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc;$$

2) $$(a-b+4)^2=a^2+b^2+16-2ab+8a-8b.$$

1) Да, это тождество.

2) Нет, это не тождество.