Упр.726 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года.

   Выведите формулу куба разности.

   Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:

   1) $$(1-x)^3$$; 2) $$(x-5y)^3$$.

2. Задание учебника 2021 года.

   Решите уравнение:

   1) $$x^3-x=0$$; 2) $$x^4+x^2=0$$; 3) $$x^4-8x^3=0$$; 4) $$49x^3+14x^2+x=0$$; 5) $$x^3+x^2-x-1=0$$; 6) $$x^3-4x^2-25x+100=0$$.

Используем формулу куба разности:

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$

Тогда:

$$(1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3,$$

$$(x-5y)^3=x^3-15x^2y+75xy^2-125y^3.$$

Решим уравнения.

1. $$x^3-x=0$$

   $$x(x^2-1)=0$$

   $$x(x-1)(x+1)=0$$

   $$x=0,\; x=1,\; x=-1.$$

2. $$x^4+x^2=0$$

   $$x^2(x^2+1)=0$$

   $$x^2=0 \quad \text{или} \quad x^2+1=0.$$

   $$x=0,$$

   а уравнение $$x^2+1=0$$ действительных решений не имеет.

3. $$x^4-8x^3=0$$

   $$x^3(x-8)=0$$

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x-8=0.$$

   $$x=0,\; x=8.$$

4. $$49x^3+14x^2+x=0$$

   $$x(49x^2+14x+1)=0$$

   $$x(7x+1)^2=0$$

   $$x=0 \quad \text{или} \quad 7x+1=0.$$

   $$x=-\frac{1}{7}.$$

5. $$x^3+x^2-x-1=0$$

   $$x^2(x+1)-(x+1)=0$$

   $$(x+1)(x^2-1)=0$$

   $$(x+1)(x-1)(x+1)=0$$

   $$(x+1)^2(x-1)=0$$

   $$x=-1,\; x=1.$$

6. $$x^3-4x^2-25x+100=0$$

   $$x^2(x-4)-25(x-4)=0$$

   $$(x-4)(x^2-25)=0$$

   $$(x-4)(x-5)(x+5)=0$$

   $$x=4,\; x=5,\; x=-5.$$

Ответ

$$(1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3, \quad (x-5y)^3=x^3-15x^2y+75xy^2-125y^3.$$

1) $$x=0,\; \pm 1;$$ 2) $$x=0;$$ 3) $$x=0,\; 8;$$ 4) $$x=0,\; -\frac{1}{7};$$ 5) $$x=-1,\; 1;$$ 6) $$x=-5,\; 4,\; 5.$$