Упр.725 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Выведите формулу куба суммы. Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение: 1) $$(x+3)^3$$; 2) $$(2x+y)^3$$.
2. Решите уравнение: 1) $$x^3-4x=0$$; 2) $$x^4-x^2=0$$; 3) $$x^5-36x^3=0$$; 4) $$9x^3-x=0$$; 5) $$x^3-10x^2+25x=0$$; 6) $$x^3+2x^2-9x-18=0$$; 7) $$x^3-5x^2+4x-20=0$$; 8) $$x^5-x^4-x+1=0$$.

Используем формулу куба суммы:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$

Тогда:

1) $$(x+3)^3=x^3+3x^2\cdot 3+3x\cdot 3^2+3^3=x^3+9x^2+27x+27;$$

2) $$(2x+y)^3=(2x)^3+3(2x)^2y+3(2x)y^2+y^3=8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3.$$

Решим уравнения.

1) $$x^3-4x=0$$

$$x(x^2-4)=0$$

$$x(x-2)(x+2)=0$$

$$x=0,\; x=2,\; x=-2.$$

2) $$x^4-x^2=0$$

$$x^2(x^2-1)=0$$

$$x^2(x-1)(x+1)=0$$

$$x=0,\; x=1,\; x=-1.$$

3) $$x^5-36x^3=0$$

$$x^3(x^2-36)=0$$

$$x^3(x-6)(x+6)=0$$

$$x=0,\; x=6,\; x=-6.$$

4) $$9x^3-x=0$$

$$x(9x^2-1)=0$$

$$x(3x-1)(3x+1)=0$$

$$x=0,\; x=\frac13,\; x=-\frac13.$$

5) $$x^3-10x^2+25x=0$$

$$x(x^2-10x+25)=0$$

$$x(x-5)^2=0$$

$$x=0,\; x=5.$$

6) $$x^3+2x^2-9x-18=0$$

$$x^2(x+2)-9(x+2)=0$$

$$(x+2)(x^2-9)=0$$

$$(x+2)(x-3)(x+3)=0$$

$$x=-2,\; x=3,\; x=-3.$$

7) $$x^3-5x^2+4x-20=0$$

$$x^2(x-5)+4(x-5)=0$$

$$(x-5)(x^2+4)=0$$

$$x=5.$$

8) $$x^5-x^4-x+1=0$$

$$x^4(x-1)-(x-1)=0$$

$$(x-1)(x^4-1)=0$$

$$(x-1)(x^2-1)(x^2+1)=0$$

$$(x-1)(x-1)(x+1)(x^2+1)=0$$

$$x=1,\; x=-1.$$

Ответ

1) $$x^3+9x^2+27x+27$$; 2) $$8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3$$.

1) $$x=0,\pm 2$$; 2) $$x=0,\pm 1$$; 3) $$x=0,\pm 6$$; 4) $$x=0,\pm \frac13$$; 5) $$x=0,5$$; 6) $$x=-2,\pm 3$$; 7) $$x=5$$; 8) $$x=\pm 1$$.