Упр.724 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Каким числом, чётным или нечётным, является квадрат нечётного натурального числа?
- Представьте в виде произведения выражение:
1) $$x^2(x+4)-20x(x+4)+100(x+4)$$;
2) $$a^2-36-2a(36-a^2)-a^2(36-a^2)$$;
3) $$a^2(b-1)-b^2(a-1)$$;
4) $$(m-n)(n^3-p^3)-(n-p)(m^3-n^3)$$.
Квадрат нечётного натурального числа тоже нечётный, так как если $$n=2k+1,$$ то
$$(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1,$$
а число вида $$4m+1$$ не делится на 2.
1) Вынесем общий множитель $$x+4$$:
$$x^2(x+4)-20x(x+4)+100(x+4)=(x+4)(x^2-20x+100).$$
$$x^2-20x+100=(x-10)^2,$$
значит,
$$x^2(x+4)-20x(x+4)+100(x+4)=(x+4)(x-10)^2.$$
2) Преобразуем выражение, выделяя общий множитель $$a^2-36$$:
$$a^2-36-2a(36-a^2)-a^2(36-a^2)$$
$$=(a^2-36)+2a(a^2-36)+a^2(a^2-36)$$
$$=(a^2-36)(1+2a+a^2).$$
Так как $$a^2-36=(a-6)(a+6),$$ а $$1+2a+a^2=(a+1)^2,$$ то
$$a^2-36-2a(36-a^2)-a^2(36-a^2)=(a-6)(a+6)(a+1)^2.$$
3) Группируем слагаемые:
$$a^2(b-1)-b^2(a-1)=a^2b-a^2-ab^2+b^2.$$
$$=a b(a-b)-(a^2-b^2)$$
$$=ab(a-b)-(a-b)(a+b)$$
$$=(a-b)\bigl(ab-(a+b)\bigr).$$
4) Используем формулу разности кубов:
$$(m-n)(n^3-p^3)-(n-p)(m^3-n^3)$$
$$=(m-n)(n-p)(n^2+np+p^2)-(n-p)(m-n)(m^2+mn+n^2)$$
$$=(m-n)(n-p)\bigl(n^2+np+p^2-m^2-mn-n^2\bigr)$$
$$=(m-n)(n-p)(p^2+np-mn-m^2).$$
Ответ
Квадрат нечётного натурального числа — нечётное число.
1) $$(x+4)(x-10)^2$$
2) $$(a-6)(a+6)(a+1)^2$$
3) $$(a-b)\bigl(ab-a-b\bigr)$$
4) $$(m-n)(n-p)(p^2+np-mn-m^2)$$
