Упр.724 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Представьте в виде произведения выражение:
1) х2(х + 4) — 20х(х + 4) + 100(х + 4);
2) a2-36-2a(36-a2)-a2(36-a2);
3) a2(b — 1) — b2 (a — 1);
4) (m — n) (n3 — р3) — (n — р) (m3 — n3).

Квадрат нечётного натурального числа тоже нечётный, так как если $$n=2k+1,$$ то

$$ (2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1, $$

а число вида $$4m+1$$ не делится на 2.

1) Вынесем общий множитель $$x+4$$:

$$ x^2(x+4)-20x(x+4)+100(x+4)=(x+4)(x^2-20x+100). $$

$$ x^2-20x+100=(x-10)^2, $$

значит,

$$ x^2(x+4)-20x(x+4)+100(x+4)=(x+4)(x-10)^2. $$

2) Преобразуем выражение, выделяя общий множитель $$a^2-36$$:

$$ a^2-36-2a(36-a^2)-a^2(36-a^2) $$

$$ =(a^2-36)+2a(a^2-36)+a^2(a^2-36) $$

$$ =(a^2-36)(1+2a+a^2). $$

Так как $$a^2-36=(a-6)(a+6),$$ а $$1+2a+a^2=(a+1)^2,$$ то

$$ a^2-36-2a(36-a^2)-a^2(36-a^2)=(a-6)(a+6)(a+1)^2. $$

3) Группируем слагаемые:

$$ a^2(b-1)-b^2(a-1)=a^2b-a^2-ab^2+b^2. $$

$$ =a b(a-b)-(a^2-b^2) $$

$$ =ab(a-b)-(a-b)(a+b) $$

$$ =(a-b)\bigl(ab-(a+b)\bigr). $$

4) Используем формулу разности кубов:

$$ (m-n)(n^3-p^3)-(n-p)(m^3-n^3) $$

$$ =(m-n)(n-p)(n^2+np+p^2)-(n-p)(m-n)(m^2+mn+n^2) $$

$$ =(m-n)(n-p)\bigl(n^2+np+p^2-m^2-mn-n^2\bigr) $$

$$ =(m-n)(n-p)(p^2+np-mn-m^2). $$

Ответ

Квадрат нечётного натурального числа — нечётное число.

1) $$ (x+4)(x-10)^2 $$

2) $$ (a-6)(a+6)(a+1)^2 $$

3) $$ (a-b)\bigl(ab-a-b\bigr) $$

4) $$ (m-n)(n-p)(p^2+np-mn-m^2) $$