Упр.723 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что значение выражения $$\left(6x-8\right)^2+\left(8x+6\right)^2-\left(10x-1\right)\left(10x+1\right)$$ не зависит от значения переменной $$x$$.
2. Разложите на множители:
   1) $$x^2(x-2)-18x(x-2)+81(x-2)$$;
   2) $$4x(y^2-9)+4x^2(y^2-9)-9+y^2$$;
   3) $$b^2(a+1)-a^2(b+1)$$;
   4) $$(a-b)(b^2-c^2)-(b-c)(a^2-b^2)$$.

1) Вынесем общий множитель $$x-2$$:

$$x^2(x-2)-18x(x-2)+81(x-2)=(x-2)(x^2-18x+81).$$

Заметим, что $$x^2-18x+81=(x-9)^2$$. Тогда

$$x^2(x-2)-18x(x-2)+81(x-2)=(x-2)(x-9)^2.$$

2) Преобразуем выражение, используя $$-9+y^2=y^2-9$$:

$$4x(y^2-9)+4x^2(y^2-9)-9+y^2 =4x(y^2-9)+4x^2(y^2-9)+(y^2-9).$$

Вынесем общий множитель $$y^2-9$$:

$$(y^2-9)(4x+4x^2+1).$$

Так как $$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$$ и $$y^2-9=(y-3)(y+3)$$, получаем

$$4x(y^2-9)+4x^2(y^2-9)-9+y^2=(y-3)(y+3)(2x+1)^2.$$

3) Раскроем скобки и сгруппируем:

$$b^2(a+1)-a^2(b+1)=ab^2+b^2-a^2b-a^2.$$

$$ab^2-a^2b+b^2-a^2=ab(b-a)+(b-a)(b+a).$$

Вынесем общий множитель $$b-a$$:

$$b^2(a+1)-a^2(b+1)=(b-a)(ab+b+a).$$

4) Преобразуем разность квадратов:

$$(a-b)(b^2-c^2)-(b-c)(a^2-b^2) =(a-b)(b-c)(b+c)-(b-c)(a-b)(a+b).$$

Вынесем общий множитель $$(a-b)(b-c)$$:

$$(a-b)(b-c)\bigl((b+c)-(a+b)\bigr)=(a-b)(b-c)(c-a).$$

Ответ

1) $$(x-2)(x-9)^2$$

2) $$(y-3)(y+3)(2x+1)^2$$

3) $$(b-a)(ab+b+a)$$

4) $$(a-b)(b-c)(c-a)$$