Упр.718 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Найдите четыре последовательных натуральных числа, если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше, чем сумма квадратов первого и третьего.
2. Разложите на множители:
   
   1) $$15cx+2cy-cxy-30c$$;
   
   2) $$35a^2-42ab+10a^2b-12ab^2$$;
   
   3) $$x^3+x^2y+x^2+xy$$;
   
   4) $$mn^4-n^4+mn^3-n^3$$.

Пусть первое число равно $$n$$, тогда второе — $$n+1$$, третье — $$n+2$$, четвёртое — $$n+3$$.

Составим уравнение по условию:

$$(n+1)^2+(n+3)^2=n^2+(n+2)^2+82$$

Раскроем скобки:

$$n^2+2n+1+n^2+6n+9=n^2+n^2+4n+4+82$$

$$2n^2+8n+10=2n^2+4n+86$$

$$8n-4n=86-10$$

$$4n=76$$

$$n=19$$

Значит, искомые числа:

$$19,\ 20,\ 21,\ 22$$

Разложим на множители:

1. $$15cx+2cy-cxy-30c=(15cx-30c)+(2cy-cxy)$$

   $$=15c(x-2)-cy(x-2)=(x-2)(15c-cy)=c(x-2)(15-y)$$

2. $$35a^2-42ab+10a^2b-12ab^2=(35a^2+10a^2b)-(42ab+12ab^2)$$

   $$=5a^2(7+2b)-6ab(7+2b)=(7+2b)(5a^2-6ab)$$

   $$=a(7+2b)(5a-6b)$$

3. $$x^3+x^2y+x^2+xy=(x^3+x^2)+(x^2y+xy)$$

   $$=x^2(x+1)+xy(x+1)=(x+1)(x^2+xy)$$

   $$=x(x+1)(x+y)$$

4. $$mn^4-n^4+mn^3-n^3=n^4(m-1)+n^3(m-1)$$

   $$=(m-1)(n^4+n^3)=n^3(m-1)(n+1)$$

Ответ

$$19,\ 20,\ 21,\ 22$$; 1) $$c(x-2)(15-y)$$; 2) $$a(7+2b)(5a-6b)$$; 3) $$x(x+1)(x+y)$$; 4) $$n^3(m-1)(n+1)$$.