Упр.717 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Найдите три последовательных натуральных числа, если удвоенный квадрат большего из них на $$79$$ больше суммы квадратов двух других чисел.
- Представьте в виде произведения многочлен:
1) $$3аb+15b-3а-15$$;
2) $$84-42у-7ху+14х$$;
3) $$аbс+6ас+8аb+48а$$;
4) $$m^3-m^2n+m^2-mn$$;
5) $$а^3+а^2-а-1$$;
6) $$2х^3-2ху^2-8х^2+8y^2$$;
7) $$5а^2-5b^2-15а^3b+15аb^3$$;
8) $$а^2b^2-1-b^2+а^2$$.
Пусть первое число равно $$n$$, тогда второе — $$n+1$$, третье — $$n+2$$.
Составим уравнение по условию:
$$2(n+2)^2=n^2+(n+1)^2+79$$
Раскроем скобки:
$$2(n^2+4n+4)=n^2+(n^2+2n+1)+79$$
$$2n^2+8n+8=2n^2+2n+80$$
$$8n+8=2n+80$$
$$6n=72$$
$$n=12$$
Тогда:
$$n+1=13,\quad n+2=14$$
Теперь разложим многочлены на множители:
$$3ab+15b-3a-15=3b(a+5)-3(a+5)=(a+5)(3b-3)=3(a+5)(b-1)$$
$$84-42y-7xy+14x=42(2-y)+7x(2-y)=(2-y)(42+7x)=7(2-y)(x+6)$$
$$abc+6ac+8ab+48a=ac(b+6)+8a(b+6)=a(b+6)(c+8)$$
$$m^3-m^2n+m^2-mn=m^2(m-n)+m(m-n)=(m-n)(m^2+m)=m(m-n)(m+1)$$
$$a^3+a^2-a-1=a^2(a+1)-(a+1)=(a+1)(a^2-1)=(a+1)(a-1)(a+1)=(a-1)(a+1)^2$$
$$2x^3-2xy^2-8x^2+8y^2=2x(x^2-y^2)-8(x^2-y^2)=(x^2-y^2)(2x-8)=2(x-y)(x+y)(x-4)$$
$$5a^2-5b^2-15a^3b+15ab^3=5(a^2-b^2)-15ab(a^2-b^2)=(a^2-b^2)(5-15ab)=5(a-b)(a+b)(1-3ab)$$
$$a^2b^2-1-b^2+a^2=(a^2b^2-b^2)+(a^2-1)=b^2(a^2-1)+(a^2-1)=(a^2-1)(b^2+1)=(a-1)(a+1)(b^2+1)$$
Ответ
$$12,\ 13,\ 14$$
1) $$3(a+5)(b-1)$$; 2) $$7(2-y)(x+6)$$; 3) $$a(b+6)(c+8)$$; 4) $$m(m-n)(m+1)$$; 5) $$(a-1)(a+1)^2$$; 6) $$2(x-y)(x+y)(x-4)$$; 7) $$5(a-b)(a+b)(1-3ab)$$; 8) $$(a-1)(a+1)(b^2+1)$$.
