Упр.715 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Найдите сторону квадрата, если при увеличении её на $$5\ \text{см}$$ получится квадрат, площадь которого на $$95\ \text{см}^2$$ больше площади данного.
2. Разложите на множители: 1) $$a^7+ab^6$$; 2) $$x^8-y^8$$; 3) $$c^6-1$$.

1) Пусть сторона квадрата равна $$a$$ см. Тогда его площадь равна $$a^2$$. После увеличения стороны на $$5$$ см получаем квадрат со стороной $$a+5$$ и площадью $$a^2+95$$.

Составим уравнение:

$$(a+5)^2=a^2+95$$

$$a^2+10a+25=a^2+95$$

$$10a=95-25$$

$$10a=70$$

$$a=7$$

Значит, сторона квадрата равна $$7$$ см.

2) Разложим на множители:

$$a^7+ab^6=a(a^6+b^6)$$

Так как $$a^6+b^6=(a^2)^3+(b^2)^3$$, то

$$a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$$

Следовательно,

$$a^7+ab^6=a(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$$

3) Используем формулу разности восьмых степеней:

$$x^8-y^8=(x^4-y^4)(x^4+y^4)$$

$$x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$$

Тогда

$$x^8-y^8=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$$

4) Разложим выражение $$c^6-1$$:

$$c^6-1=(c^3-1)(c^3+1)$$

$$c^3-1=(c-1)(c^2+c+1)$$

$$c^3+1=(c+1)(c^2-c+1)$$

Следовательно,

$$c^6-1=(c-1)(c+1)(c^2+c+1)(c^2-c+1)$$

Ответ

1) $$7$$ см; 2) $$a(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$$; 3) $$(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$$; 4) $$(c-1)(c+1)(c^2+c+1)(c^2-c+1)$$.