Упр.703 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
1) $$(*+6b)^2=*+24ab+*$$;
2) $$(*-*)^2=9m^4-42m^2n^8+*$$. - Найдите значение каждого из следующих выражений при $$a=1$$ и $$a=-1$$:
1) $$a+a^2+a^3+a^4+\ldots+a^{99}+a^{100}$$;
2) $$a+a^2+a^3+a^4+\ldots+a^{98}+a^{99}$$;
3) $$a\cdot a^2\cdot a^3\cdot a^4\cdots a^{99}\cdot a^{100}$$;
4) $$a\cdot a^2\cdot a^3\cdot a^4\cdots a^{98}\cdot a^{99}$$.
Используем формулу квадрата суммы и квадрата разности:
$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2, \qquad (x-y)^2=x^2-2xy+y^2.$$
$$(*+6b)^2=*+24ab+*$$
Пусть первый одночлен равен $$2a$$. Тогда
$$(2a+6b)^2=4a^2+24ab+36b^2.$$
Значит, вместо звёздочек нужно поставить $$2a$$, $$4a^2$$ и $$36b^2$$.
$$(*-*)^2=9m^4-42m^2n^8+*$$
Пусть одночлены равны $$3m^2$$ и $$7n^8$$. Тогда
$$(3m^2-7n^8)^2=9m^4-42m^2n^8+49n^{16}.$$
Значит, вместо звёздочек нужно поставить $$3m^2$$, $$7n^8$$ и $$49n^{16}$$.
Теперь найдём значения выражений при $$a=1$$ и $$a=-1$$.
$$a+a^2+a^3+\dots+a^{100}$$
Если $$a=1$$, то каждый член равен $$1$$, поэтому
$$1+1+\dots+1=100.$$
Если $$a=-1$$, то члены с нечётными степенями равны $$-1$$, а с чётными — $$1$$. Таких членов поровну: по $$50$$, значит
$$50\cdot(-1)+50\cdot1=0.$$
$$a+a^2+a^3+\dots+a^{99}$$
Если $$a=1$$, то
$$1+1+\dots+1=99.$$
Если $$a=-1$$, то
$$50\cdot(-1)+49\cdot1=-1.$$
$$aa^2a^3a^4\dots a^{99}a^{100}$$
Это произведение равно
$$a^{1+2+3+\dots+100}=a^{5050}.$$
Если $$a=1$$, то $$1^{5050}=1$$. Если $$a=-1$$, то $$(-1)^{5050}=1$$, так как степень чётная.
$$aa^2a^3a^4\dots a^{98}a^{99}$$
Это произведение равно
$$a^{1+2+3+\dots+99}=a^{4950}.$$
Если $$a=1$$, то $$1^{4950}=1$$. Если $$a=-1$$, то $$(-1)^{4950}=1$$, так как степень чётная.
Ответ
1) $$2a,\ 4a^2,\ 36b^2$$; 2) $$3m^2,\ 7n^8,\ 49n^{16}$$.
При $$a=1$$ и $$a=-1$$:
1) $$100$$ и $$0$$; 2) $$99$$ и $$-1$$; 3) $$1$$ и $$1$$; 4) $$1$$ и $$1$$.
