Упр.7.57 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

57. Существуют ли четыре таких натуральных числа, что каждое из них не делится нацело ни на одно из остальных, а квадрат каждого из этих чисел делится нацело на каждое из остальных?

Да, существуют. Возьмём, например, такие четыре натуральных числа:

$$2^4\cdot 3^7,\quad 2^5\cdot 3^6,\quad 2^6\cdot 3^5,\quad 2^7\cdot 3^4.$$

Каждое из них не делится ни на одно из остальных, так как в разложении одного числа показатель степени при числе $$2$$ больше, а при числе $$3$$ меньше, чем у другого, и наоборот.

Если возвести любое из этих чисел в квадрат, то показатели степеней при $$2$$ и $$3$$ удвоятся. Тогда квадрат каждого числа будет делиться на каждое из остальных, поскольку в разложении любого из них показатели степеней при $$2$$ и $$3$$ не меньше, чем у остальных чисел.

Ответ

Да, существуют, например: $$2^4\cdot 3^7,\; 2^5\cdot 3^6,\; 2^6\cdot 3^5,\; 2^7\cdot 3^4.$$