Упр.7.53 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 7.53. Существует ли такое натуральное число, при умножении которого на 2 будет получен квадрат натурального числа, при умножении на 3 — куб натурального числа, при умножении на 5 — пятая степень натурального числа? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 7-53 715

Подробный ответ

Пусть искомое число имеет вид

$$n=2^a\cdot 3^b\cdot 5^c\cdot \ldots$$

Тогда:

число $$2n$$ должно быть квадратом, значит показатель степени при простом множителе $$2$$ в числе $$2n$$ должен быть чётным;
число $$3n$$ должно быть кубом, значит показатели степеней всех простых множителей в $$3n$$ должны делиться на $$3$$;
число $$5n$$ должно быть пятой степенью, значит показатели степеней всех простых множителей в $$5n$$ должны делиться на $$5$$.

Подберём показатели степеней так, чтобы выполнялись все три условия:

$$a+1 \equiv 0 \pmod 2,\qquad a \equiv 0 \pmod 3,\qquad a \equiv 0 \pmod 5,$$

$$b \equiv 0 \pmod 2,\qquad b+1 \equiv 0 \pmod 3,\qquad b \equiv 0 \pmod 5,$$

$$c \equiv 0 \pmod 2,\qquad c \equiv 0 \pmod 3,\qquad c+1 \equiv 0 \pmod 5.$$

Можно взять, например,

$$a=15,\qquad b=20,\qquad c=24.$$

Тогда

$$n=2^{15}\cdot 3^{20}\cdot 5^{24}.$$

Проверим:

$$2n=2^{16}\cdot 3^{20}\cdot 5^{24}$$

— квадрат, так как все показатели чётные;

$$3n=2^{15}\cdot 3^{21}\cdot 5^{24}$$