Упр.7.52 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде дроби, числитель которой является четвёртой степенью натурального числа, а знаменатель — пятой.

Пусть дано натуральное число $$n$$. Представим его в виде

$$n=\frac{(n^a)^4}{(n^b)^5}.$$

Тогда

$$\frac{(n^a)^4}{(n^b)^5}=n^{4a-5b}.$$

Чтобы это выражение было равно $$n$$, нужно, чтобы

$$4a-5b=1.$$

Подберём натуральные числа $$a$$ и $$b$$. Возьмём, например, $$a=4$$. Тогда

$$4\cdot 4-5b=1,$$

$$16-5b=1,$$

$$5b=15,$$

$$b=3.$$

Проверим:

$$\frac{(n^4)^4}{(n^3)^5}=\frac{n^{16}}{n^{15}}=n.$$

Значит, любое натуральное число можно представить в виде дроби, числитель которой является четвёртой степенью натурального числа, а знаменатель — пятой.

Ответ

$$n=\frac{(n^4)^4}{(n^3)^5}.$$