Упр.7.51 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 7.51. Представьте число 171 в виде дроби, числитель которой является девятой степенью натурального числа, а знаменатель — десятой.

Представим число $$171$$ в виде дроби:

$$171=\frac{(171^a)^9}{(171^b)^{10}}.$$

Тогда

$$\frac{(171^a)^9}{(171^b)^{10}}=\frac{171^{9a}}{171^{10b}}=171^{9a-10b}.$$

Чтобы это выражение было равно $$171$$, нужно, чтобы показатель степени был равен $$1$$:

$$9a-10b=1.$$

Отсюда

$$10b=9a-1,$$

значит, число $$9a-1$$ должно делиться на $$10$$. Возьмём наименьшее подходящее натуральное значение $$a$$:

$$9a-1=80,$$

$$9a=81,$$

$$a=9.$$

Тогда

$$b=\frac{9a-1}{10}=\frac{80}{10}=8.$$

Следовательно,

$$171=\frac{(171^9)^9}{(171^8)^{10}}.$$

Ответ

$$171=\frac{(171^9)^9}{(171^8)^{10}}.$$