Упр.699 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: 1) $$(x-12)^2+24x$$; 2) $$(x+8)^2-x(x+5)$$; 3) $$2x(x+2)-(x-2)^2$$; 4) $$(y+7)^2+(y+2)(y-7)$$; 5) $$(a+1)(a-1)-(a+4)^2$$; 6) $$(x-10)(9-x)+(x+10)^2$$.
2. Докажите, что если $$2a-b=1$$, то $$8a^3-b^3=6ab+1$$.

1. $$\begin{aligned} (x-12)^2+24x&=x^2-24x+144+24x\\ &=x^2+144 \end{aligned}$$
2. $$\begin{aligned} (x+8)^2-x(x+5)&=x^2+16x+64-x^2-5x\\ &=11x+64 \end{aligned}$$
3. $$\begin{aligned} 2x(x+2)-(x-2)^2&=2x^2+4x-(x^2-4x+4)\\ &=x^2+8x-4 \end{aligned}$$
4. $$\begin{aligned} (y+7)^2+(y+2)(y-7)&=y^2+14y+49+y^2-5y-14\\ &=2y^2+9y+35 \end{aligned}$$
5. $$\begin{aligned} (a+1)(a-1)-(a+4)^2&=a^2-1-(a^2+8a+16)\\ &=-8a-17 \end{aligned}$$
6. $$\begin{aligned} (x-10)(9-x)+(x+10)^2&=9x-x^2-90+10x+x^2+20x+100\\ &=39x+10 \end{aligned}$$

Докажем, что если $$2a-b=1,$$ то $$8a^3-b^3=6ab+1.$$

$$\begin{aligned} 8a^3-b^3&=(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)\\ &=1\cdot(4a^2+2ab+b^2)\\ &=4a^2+2ab+b^2. \end{aligned}$$

Из условия $$2a-b=1$$ получаем $$b=2a-1.$$ Тогда

$$\begin{aligned} 4a^2+2ab+b^2&=4a^2+2a(2a-1)+(2a-1)^2\\ &=4a^2+4a^2-2a+4a^2-4a+1\\ &=12a^2-6a+1. \end{aligned}$$

С другой стороны,

$$\begin{aligned} 6ab+1&=6a(2a-1)+1\\ &=12a^2-6a+1. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$8a^3-b^3=6ab+1.$$

Ответ

1) $$x^2+144$$; 2) $$11x+64$$; 3) $$x^2+8x-4$$; 4) $$2y^2+9y+35$$; 5) $$-8a-17$$; 6) $$39x+10$$; доказано.