Упр.699 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (х- 12)2 +24x;
2) (х + 8)2 — х(х + 5);
3) 2х(х + 2) — (х — 2)2;
4) (у + 7)2 + (у + 2)(у — 7);
5) (а + 1)(а-1)-(а + 4)2;
6) (х -10)(9 — х) + (х + 10)2.
Докажите, что если 2а — b = 1, то 8а3 — b3 = 6ab + 1.

Подробный ответ

$$\begin{aligned} (x-12)^2+24x&=x^2-24x+144+24x\\ &=x^2+144 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} (x+8)^2-x(x+5)&=x^2+16x+64-x^2-5x\\ &=11x+64 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} 2x(x+2)-(x-2)^2&=2x^2+4x-(x^2-4x+4)\\ &=x^2+8x-4 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} (y+7)^2+(y+2)(y-7)&=y^2+14y+49+y^2-5y-14\\ &=2y^2+9y+35 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} (a+1)(a-1)-(a+4)^2&=a^2-1-(a^2+8a+16)\\ &=-8a-17 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} (x-10)(9-x)+(x+10)^2&=9x-x^2-90+10x+x^2+20x+100\\ &=39x+10 \end{aligned}$$

Докажем, что если $$2a-b=1,$$ то $$8a^3-b^3=6ab+1.$$

$$\begin{aligned} 8a^3-b^3&=(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)\\ &=1\cdot(4a^2+2ab+b^2)\\ &=4a^2+2ab+b^2. \end{aligned}$$

Из условия $$2a-b=1$$ получаем $$b=2a-1.$$ Тогда

$$\begin{aligned} 4a^2+2ab+b^2&=4a^2+2a(2a-1)+(2a-1)^2\\ &=4a^2+4a^2-2a+4a^2-4a+1\\ &=12a^2-6a+1. \end{aligned}$$

С другой стороны,

$$\begin{aligned} 6ab+1&=6a(2a-1)+1\\ &=12a^2-6a+1. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$8a^3-b^3=6ab+1.$$