Упр.696 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Представьте в виде многочлена выражение:

1) $$(3a-2)^2$$;

2) $$(7b+6)^2$$;

3) $$(8x+4y)^2$$;

4) $$(0{,}4m-0{,}5n)^2$$;

5) $$(3a+\frac{1}{3}b)^2$$;

6) $$(b^2-11)^2$$;

7) $$(a^2+4b)^2$$;

8) $$(x^2+y^3)^2$$;

9) $$(a^3-4b)^2$$;

10) $$(a^2+a)^2$$;

11) $$(3b^2-2b^5)^2$$;

12) $$\left(1\frac{1}{7}ab-\frac{7}{8}c\right)^2$$.
Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Подробный ответ

$$\begin{aligned} (3a-2)^2&=(3a)^2-2\cdot 3a\cdot 2+2^2=9a^2-12a+4,\\ (7b+6)^2&=(7b)^2+2\cdot 7b\cdot 6+6^2=49b^2+84b+36,\\ (8x+4y)^2&=(8x)^2+2\cdot 8x\cdot 4y+(4y)^2=64x^2+64xy+16y^2,\\ (0{,}4m-0{,}5n)^2&=(0{,}4m)^2-2\cdot 0{,}4m\cdot 0{,}5n+(0{,}5n)^2\\ &=0{,}16m^2-0{,}4mn+0{,}25n^2,\\ \left(3a+\frac13 b\right)^2&=(3a)^2+2\cdot 3a\cdot \frac13 b+\left(\frac13 b\right)^2\\ &=9a^2+2ab+\frac19 b^2,\\ (b^2-11)^2&=(b^2)^2-2\cdot b^2\cdot 11+11^2=b^4-22b^2+121,\\ (a^2+4b)^2&=(a^2)^2+2\cdot a^2\cdot 4b+(4b)^2=a^4+8a^2b+16b^2,\\ (x^2+y^3)^2&=(x^2)^2+2\cdot x^2\cdot y^3+(y^3)^2=x^4+2x^2y^3+y^6,\\ (a^3-4b)^2&=(a^3)^2-2\cdot a^3\cdot 4b+(4b)^2=a^6-8a^3b+16b^2,\\ (a^2+a)^2&=(a^2)^2+2\cdot a^2\cdot a+a^2=a^4+2a^3+a^2,\\ (3b^2-2b^5)^2&=(3b^2)^2-2\cdot 3b^2\cdot 2b^5+(2b^5)^2\\ &=9b^4-12b^7+4b^{10},\\ \left(1\frac17 ab-\frac78 c\right)^2&=\left(\frac87 ab-\frac78 c\right)^2\\ &=\left(\frac87 ab\right)^2-2\cdot \frac87 ab\cdot \frac78 c+\left(\frac78 c\right)^2\\ &=\frac{64}{49}a^2b^2-2abc+\frac{49}{64}c^2. \end{aligned}$$
Пусть два последовательных натуральных числа, не делящиеся на $$3$$, равны $$3n-1 \text{ и } 3n+1.$$ Тогда
$$\begin{aligned} (3n-1)^3+(3n+1)^3 &= (3n-1+3n+1)\bigl((3n-1)^2-(3n-1)(3n+1)+(3n+1)^2\bigr)\\ &= 6n\bigl((9n^2-6n+1)-(9n^2-1)+(9n^2+6n+1)\bigr)\\ &= 6n(9n^2+3)\\ &= 18n(3n^2+1). \end{aligned}$$
Так как $$18n(3n^2+1)=9\cdot 2n(3n^2+1),$$
то сумма кубов делится нацело на $$9$$.

Ответ

1) $$9a^2-12a+4$$; 2) $$49b^2+84b+36$$; 3) $$64x^2+64xy+16y^2$$; 4) $$0{,}16m^2-0{,}4mn+0{,}25n^2$$; 5) $$9a^2+2ab+\frac19 b^2$$; 6) $$b^4-22b^2+121$$; 7) $$a^4+8a^2b+16b^2$$; 8) $$x^4+2x^2y^3+y^6$$; 9) $$a^6-8a^3b+16b^2$$; 10) $$a^4+2a^3+a^2$$; 11) $$9b^4-12b^7+4b^{10}$$; 12) $$\frac{64}{49}a^2b^2-2abc+\frac{49}{64}c^2$$. Сумма кубов делится на $$9$$.