Упр.695 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Завершите возведение двучлена в квадрат: 1) $$(ab — 9)^2$$; 2) $$(4a^2 + a^3)^2$$.
2. Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на $$4$$.

1) Используем формулу квадрата разности:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Тогда

$$(ab-9)^2=(ab)^2-2\cdot ab\cdot 9+9^2=a^2b^2-18ab+81.$$

2) Используем формулу квадрата суммы:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Тогда

$$(4a^2+a^3)^2=(4a^2)^2+2\cdot 4a^2\cdot a^3+(a^3)^2=16a^4+8a^5+a^6.$$

3) Пусть два последовательных нечётных натуральных числа — это $$2n+1$$ и $$2n+3$$.

Тогда сумма их кубов:

$$(2n+1)^3+(2n+3)^3$$

Разложим по формуле суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

при $$a=2n+1$$ и $$b=2n+3$$:

$$(2n+1)^3+(2n+3)^3=((2n+1)+(2n+3))\big((2n+1)^2-(2n+1)(2n+3)+(2n+3)^2\big)$$

$$=(4n+4)\big((4n^2+4n+1)-(4n^2+8n+3)+(4n^2+12n+9)\big)$$

$$=(4n+4)(4n^2+8n+7)=4(n+1)(4n^2+8n+7).$$

Значит, сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Ответ

$$(ab-9)^2=a^2b^2-18ab+81;$$
$$(4a^2+a^3)^2=16a^4+8a^5+a^6;$$
сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится на 4.