Упр.695 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (ab — 9)^2;
2) (4а^2 + а^3)^2. Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.

1) Используем формулу квадрата разности:

$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$

Тогда

$$ (ab-9)^2=(ab)^2-2\cdot ab\cdot 9+9^2=a^2b^2-18ab+81. $$

2) Используем формулу квадрата суммы:

$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$

Тогда

$$ (4a^2+a^3)^2=(4a^2)^2+2\cdot 4a^2\cdot a^3+(a^3)^2=16a^4+8a^5+a^6. $$

3) Пусть два последовательных нечётных натуральных числа — это $$2n+1$$ и $$2n+3$$.

Тогда сумма их кубов:

$$ (2n+1)^3+(2n+3)^3 $$

Разложим по формуле суммы кубов:

$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$

при $$a=2n+1$$ и $$b=2n+3$$:

$$ (2n+1)^3+(2n+3)^3=((2n+1)+(2n+3))\big((2n+1)^2-(2n+1)(2n+3)+(2n+3)^2\big) $$

$$ =(4n+4)\big((4n^2+4n+1)-(4n^2+8n+3)+(4n^2+12n+9)\big) $$

$$ =(4n+4)(4n^2+8n+7)=4(n+1)(4n^2+8n+7). $$

Значит, сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Ответ

$$ (ab-9)^2=a^2b^2-18ab+81; $$
$$ (4a^2+a^3)^2=16a^4+8a^5+a^6; $$
сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится на 4.