Упр.691 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Какое из данных равенств является тождеством:
   1) $$(12a-b)^2=144a^2-b^2$$;
   2) $$(12a-b)^2=144a^2+24ab+b^2$$;
   3) $$(12a-b)^2=144a^2-24ab+b^2$$;
   4) $$(12a-b)^2=12a^2-24ab+b^2$$?
2. Докажите, что значение выражения:
   1) $$341^3+109^3$$ делится нацело на $$90$$;
   2) $$2^{15}+3^3$$ делится нацело на $$35$$.

1) Раскроем квадрат двучлена:

$$(12a-b)^2=(12a)^2-2\cdot 12a\cdot b+b^2=144a^2-24ab+b^2.$$

Тождеством является равенство под номером 3.

2) Используем формулу суммы кубов:

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$

Тогда

$$341^3+109^3=(341+109)(341^2-341\cdot 109+109^2)=450(341^2-341\cdot 109+109^2).$$

Так как $$450$$ делится на $$90$$, то и всё выражение делится нацело на $$90$$.

3) Снова применим формулу суммы кубов:

$$2^{15}+3^3=(2^5)^3+3^3=(2^5+3)\bigl(2^{10}-2^5\cdot 3+3^2\bigr).$$

Так как $$2^5+3=32+3=35$$, получаем

$$2^{15}+3^3=35\bigl(2^{10}-2^5\cdot 3+3^2\bigr).$$

Значит, выражение делится нацело на $$35$$.

Ответ

1) Тождество — 3).
2) $$341^3+109^3$$ делится нацело на $$90$$.
3) $$2^{15}+3^3$$ делится нацело на $$35$$.