Упр.691 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (12а — b)2 = 144а2 — b2;
2) (12а — b)2 = 144а2 + 24аb + b2;
3) (12а — b)2 = 144а2 — 24ab + b2;
4) (12а — b)2 = 12а2 — 24аb + b2? Докажите, что значение выражения:
1) 341^3 + 109^3 делится нацело на 90;
2) 2^15 + 3^3 делится нацело на 35.

1) Раскроем квадрат двучлена:

$$ (12a-b)^2=(12a)^2-2\cdot 12a\cdot b+b^2=144a^2-24ab+b^2. $$

Тождеством является равенство под номером 3.

2) Используем формулу суммы кубов:

$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). $$

Тогда

$$ 341^3+109^3=(341+109)(341^2-341\cdot 109+109^2)=450(341^2-341\cdot 109+109^2). $$

Так как $$450$$ делится на $$90$$, то и всё выражение делится нацело на $$90$$.

3) Снова применим формулу суммы кубов:

$$ 2^{15}+3^3=(2^5)^3+3^3=(2^5+3)\bigl(2^{10}-2^5\cdot 3+3^2\bigr). $$

Так как $$2^5+3=32+3=35$$, получаем

$$ 2^{15}+3^3=35\bigl(2^{10}-2^5\cdot 3+3^2\bigr). $$

Значит, выражение делится нацело на $$35$$.

Ответ

1) Тождество — 3).
2) $$341^3+109^3$$ делится нацело на $$90$$.
3) $$2^{15}+3^3$$ делится нацело на $$35$$.