Упр.685 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Для каждой пары выражений найдите все значения $$a$$, при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения:
   1) $$a$$ и $$3a$$;
   2) $$a^2$$ и $$3a^2$$;
   3) $$a^2+1$$ и $$3a^2+3$$.
2. Упростите выражение:
   1) $$(x+1)(x^2-x+1)+(2-x)(4+2x+x^2)$$;
   2) $$(x-4)(x^2+4x+16)-x(x-5)(x+5)$$;
   3) $$a(a-3)^2-(a+3)(a^2-3a+9)$$;
   4) $$(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)(a^6+1)(a^{12}+1)$$.

1. Чтобы второе выражение было в 3 раза больше первого, должно выполняться равенство:
   $$3a=3\cdot a,$$
   $$3a^2=3\cdot a^2,$$
   $$3a^2+3=3(a^2+1).$$
   Во всех трёх случаях равенство верно при любом значении переменной, где выражения определены. Значит:

   1) $$a$$ — любое число;

   2) $$a$$ — любое число;

   3) $$a$$ — любое число.

2. 1)

   $$(x+1)(x^2-x+1)+(2-x)(4+2x+x^2)$$
   $$= (x^3+1)+(8-x^3)=9.$$

   2)

   $$(x-4)(x^2+4x+16)-x(x-5)(x+5)$$
   $$= (x^3-64)-x(x^2-25)$$
   $$= x^3-64-x^3+25x=25x-64.$$

   3)

   $$a(a-3)^2-(a+3)(a^2-3a+9)$$
   $$= a(a^2-6a+9)-(a^3+27)$$
   $$= a^3-6a^2+9a-a^3-27=-6a^2+9a-27.$$

   4)

   $$(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)(a^6+1)(a^{12}+1)$$
   $$= (a^2-1)(a^2+a+1)(a^2-a+1)(a^6+1)(a^{12}+1)$$
   $$= (a^3-1)(a^3+1)(a^6+1)(a^{12}+1)$$
   $$= (a^6-1)(a^6+1)(a^{12}+1)$$
   $$= (a^{12}-1)(a^{12}+1)=a^{24}-1.$$

Ответ

1) $$a$$ — любое число; 2) $$a$$ — любое число; 3) $$a$$ — любое число.
1) $$9$$; 2) $$25x-64$$; 3) $$-6a^2+9a-27$$; 4) $$a^{24}-1$$.