Упр.683 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (а + 6)3 — 27;
2) (2х -1)3 + 64;
3) 8а6 — (4а — 3)3;
4) 1000 + (у -10)3;
5) (х + у)3 -(х- у)3;
6) (а — 2)3 + (а + 2)3.

1) В последовательности каждое число равно сумме двух предыдущих:

$$d+0=1,\quad c+d=0,\quad b+c=1,\quad a+b=-1.$$

Тогда:

$$d=1,\quad c=-1,\quad b=2,\quad a=-3.$$

1)

$$ (a+6)^3-27=(a+6)^3-3^3 $$

Используем формулу разности кубов:

$$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) $$

Получаем:

$$ (a+6)^3-3^3=(a+6-3)\big((a+6)^2+3(a+6)+9\big) $$

$$ =(a+3)(a^2+12a+36+3a+18+9)=(a+3)(a^2+15a+63) $$

2)

$$ (2x-1)^3+64=(2x-1)^3+4^3 $$

Используем формулу суммы кубов:

$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $$

Тогда

$$ (2x-1)^3+4^3=(2x-1+4)\big((2x-1)^2-4(2x-1)+16\big) $$

$$ =(2x+3)(4x^2-4x+1-8x+4+16)=(2x+3)(4x^2-12x+21) $$

3)

$$ 8a^6-(4a-3)^3=(2a^2)^3-(4a-3)^3 $$

Применяем формулу разности кубов:

$$ (2a^2-(4a-3))\big((2a^2)^2+2a^2(4a-3)+(4a-3)^2\big) $$

$$ =(2a^2-4a+3)\big(4a^4+8a^3-6a^2+16a^2-24a+9\big) $$

$$ =(2a^2-4a+3)(4a^4+8a^3+10a^2-24a+9) $$

4)

$$ 1000+(y-10)^3=10^3+(y-10)^3 $$

Это сумма кубов:

$$ 10^3+(y-10)^3=(10+y-10)\big(10^2-10(y-10)+(y-10)^2\big) $$

$$ =y\big(100-10y+100+y^2-20y+100\big)=y(y^2-30y+300) $$

5)

$$ (x+y)^3-(x-y)^3 $$

По формуле разности кубов:

$$ \big((x+y)-(x-y)\big)\big((x+y)^2+(x+y)(x-y)+(x-y)^2\big) $$

$$ =2y\big((x^2+2xy+y^2)+(x^2-y^2)+(x^2-2xy+y^2)\big) $$

$$ =2y(3x^2+y^2) $$

6)

$$ (a-2)^3+(a+2)^3 $$

Вынесем общий множитель по формуле суммы кубов:

$$ (a-2+a+2)\big((a-2)^2-(a-2)(a+2)+(a+2)^2\big) $$

$$ =2a\big(a^2-4a+4-(a^2-4)+a^2+4a+4\big) $$

$$ =2a(a^2+12) $$

Ответ

$$a=-3;$$
$$ 1)\ (a+3)(a^2+15a+63); $$
$$ 2)\ (2x+3)(4x^2-12x+21); $$
$$ 3)\ (2a^2-4a+3)(4a^4+8a^3+10a^2-24a+9); $$
$$ 4)\ y(y^2-30y+300); $$
$$ 5)\ 2y(3x^2+y^2); $$
$$ 6)\ 2a(a^2+12). $$