Упр.680 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$a$$ уравнение $$(a^2-25)x=a+5$$:
   
   1) имеет бесконечно много корней;
   
   2) не имеет корней;
   
   3) имеет один корень?
2. Выполните умножение:
   
   1) $$(b-4)(b^2+4b+16)$$;
   
   2) $$(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)$$;
   
   3) $$(x^3+6y^2)(x^6-6x^3y^2+36y^4)$$;
   
   4) $$\left(\frac{1}{4}a-\frac{1}{5}b\right)\left(\frac{1}{16}a^2+\frac{1}{20}ab+\frac{1}{25}b^2\right)$$.

1. Рассмотрим уравнение $$\left(a^2-25\right)x=a+5.$$

   Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, оно должно обращаться в тождество $$0x=0.$$

   Тогда

   $$a^2-25=0,\quad a+5=0.$$

   Из второго равенства получаем $$a=-5.$$ Проверка:

   $$(-5)^2-25=0,\qquad -5+5=0.$$

   Значит, при $$a=-5$$ уравнение имеет бесконечно много корней.

2. Чтобы корней не было, нужно, чтобы коэффициент при $$x$$ был равен нулю, а правая часть — нет.

   Тогда

   $$a^2-25=0,\quad a+5\ne 0.$$

   Из $$a^2-25=0$$ получаем $$a=\pm 5.$$

   Подходит только $$a=5$$, так как при $$a=-5$$ правая часть равна нулю.

   Проверка:

   $$\left(5^2-25\right)x=5+5 \Rightarrow 0x=10.$$

   Это невозможно, значит корней нет.

3. Один корень уравнение имеет при $$a^2-25\ne 0,$$ то есть при

   $$a\ne \pm 5.$$

   Тогда можно найти единственный корень:

   $$x=\frac{a+5}{a^2-25}=\frac{a+5}{(a-5)(a+5)}=\frac{1}{a-5},$$

   где $$a\ne \pm 5.$$

4. Выполним умножение по формуле разности кубов:

   $$\left(b-4\right)\left(b^2+4b+16\right)=b^3-4^3=b^3-64.$$

   $$\left(2a+3b\right)\left(4a^2-6ab+9b^2\right)=(2a)^3+(3b)^3=8a^3+27b^3.$$

   $$\left(x^3+6y^2\right)\left(x^6-6x^3y^2+36y^4\right)=(x^3)^3+(6y^2)^3=x^9+216y^6.$$

   $$\left(\frac14 a-\frac15 b\right)\left(\frac1{16}a^2+\frac1{20}ab+\frac1{25}b^2\right)=\left(\frac14 a\right)^3-\left(\frac15 b\right)^3=\frac1{64}a^3-\frac1{125}b^3.$$

Ответ

1) $$a=-5$$; 2) $$a=5$$; 3) $$a\ne \pm 5$$.

1) $$b^3-64$$; 2) $$8a^3+27b^3$$; 3) $$x^9+216y^6$$; 4) $$\frac1{64}a^3-\frac1{125}b^3$$.