Упр.679 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$b$$ уравнение $$(b^2-4)x=b-2$$: 1) имеет бесконечно много корней; 2) не имеет корней; 3) имеет один корень?
2. Представьте в виде многочлена выражение: 1) $$(x-2)(x^2+2x+4)$$; 2) $$(2a-1)(4a^2+2a+1)$$; 3) $$(a^2+1)(a^4-a^2+1)$$; 4) $$(0{,}5xy+2)(0{,}25x^2y^2-xy+4)$$.

Рассмотрим уравнение $$\left(b^2-4\right)x=b-2.$$

Это линейное уравнение относительно $$x$$. Возможны три случая:

• если $$b^2-4=0,$$ то уравнение принимает вид $$0\cdot x=b-2;$$
• если $$b^2-4\ne 0,$$ то уравнение имеет единственный корень;
• если $$b^2-4=0$$ и одновременно $$b-2\ne 0,$$ то корней нет.

Найдём значения $$b$$:

$$b^2-4=0 \\ b^2=4 \\ b=\pm 2$$

1) Бесконечно много корней будет, если уравнение превращается в тождество:

$$b=2,\quad (2^2-4)x=2-2 \\ 0\cdot x=0$$

Значит, при $$b=2$$ уравнение имеет бесконечно много корней.

2) Корней нет, если левая часть равна нулю, а правая — нет:

$$b=-2,\quad ((-2)^2-4)x=-2-2 \\ 0\cdot x=-4$$

Значит, при $$b=-2$$ корней нет.

3) Один корень уравнение имеет при всех остальных значениях $$b$$, то есть при $$b\ne \pm 2$$.

Теперь представим выражения в виде многочлена:

1. $$(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8$$

2. $$(2a-1)(4a^2+2a+1)=8a^3-1$$

3. $$(a^2+1)(a^4-a^2+1)=a^6+1$$

4. $$(0{,}5xy+2)(0{,}25x^2y^2-xy+4)=0{,}125x^3y^3+8$$

Ответ

1) $$b=2$$; 2) $$b=-2$$; 3) $$b\ne \pm 2$$.

1) $$x^3-8$$; 2) $$8a^3-1$$; 3) $$a^6+1$$; 4) $$0{,}125x^3y^3+8$$.