Упр.678 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, а другого числа равен 3. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7.
- Разложите на множители:
1) $$x^3-1$$;
2) $$27+a^3$$;
3) $$216-y^3$$;
4) $$\frac{1}{8}a^3+b^3$$;
5) $$a^6-8$$;
6) $$a^3b^3-c^3$$;
7) $$a^3-b^{15}c^{18}$$;
8) $$125c^3d^3+0{,}008b^3$$;
9) $$\frac{64}{729}x^3-\frac{27}{100}y^6$$.
Пусть одно число имеет вид $$7a+4,$$ а другое — $$7b+3,$$ где $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа.
Тогда разность квадратов этих чисел:
$$(7a+4)^2-(7b+3)^2$$
Разложим по формуле разности квадратов:
$$(7a+4)^2-(7b+3)^2=((7a+4)-(7b+3))((7a+4)+(7b+3))$$
$$=(7a-7b+1)(7a+7b+7)$$
$$=(7a-7b+1)\cdot 7(a+b+1)$$
Следовательно, разность квадратов делится на $$7$$.
Разложим на множители:
$$x^3-1=x^3-1^3=(x-1)(x^2+x+1)$$
$$27+a^3=3^3+a^3=(a+3)(a^2-3a+9)$$
$$216-y^3=6^3-y^3=(6-y)(y^2+6y+36)$$
$$\frac18a^3+b^3=\left(\frac12a\right)^3+b^3=\left(\frac12a+b\right)\left(\frac14a^2-\frac12ab+b^2\right)$$
$$a^6-8=(a^2)^3-2^3=(a^2-2)(a^4+2a^2+4)$$
$$a^3b^3-c^3=(ab)^3-c^3=(ab-c)(a^2b^2+abc+c^2)$$
$$a^3-b^{15}c^{18}=a^3-(b^5c^6)^3=(a-b^5c^6)(a^2+ab^5c^6+b^{10}c^{12})$$
$$125c^3d^3+0{,}008b^3=(5cd)^3+(0{,}2b)^3$$
$$=(5cd+0{,}2b)(25c^2d^2-cdb\cdot 0{,}2+0{,}04b^2)$$
$$=(5cd+0{,}2b)(25c^2d^2-bcd+0{,}04b^2)$$
$$\frac{64}{729}x^3-\frac{27}{100}y^6=\left(\frac49x\right)^3-\left(\frac{3}{10}y^2\right)^3$$
$$=\left(\frac49x-\frac{3}{10}y^2\right)\left(\frac{16}{81}x^2+\frac{2}{15}xy^2+\frac{9}{100}y^4\right)$$
Ответ
1) $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$;
2) $$27+a^3=(a+3)(a^2-3a+9)$$;
3) $$216-y^3=(6-y)(y^2+6y+36)$$;
4) $$\frac18a^3+b^3=\left(\frac12a+b\right)\left(\frac14a^2-\frac12ab+b^2\right)$$;
5) $$a^6-8=(a^2-2)(a^4+2a^2+4)$$;
6) $$a^3b^3-c^3=(ab-c)(a^2b^2+abc+c^2)$$;
7) $$a^3-b^{15}c^{18}=(a-b^5c^6)(a^2+ab^5c^6+b^{10}c^{12})$$;
8) $$125c^3d^3+0{,}008b^3=(5cd+0{,}2b)(25c^2d^2-bcd+0{,}04b^2)$$;
9) $$\frac{64}{729}x^3-\frac{27}{100}y^6=\left(\frac49x-\frac{3}{10}y^2\right)\left(\frac{16}{81}x^2+\frac{2}{15}xy^2+\frac{9}{100}y^4\right)$$.
