Упр.676 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: $$\left(m^3-n^3\right)^2\left(m^3+n^3\right)^2-\left(m^6+n^6\right)^2=-4m^6n^6.$$
2. Какое из данных равенств является тождеством:
   
   1) $$m^3+8n^6=\left(m+2n^2\right)\left(m^2+2mn^2+4n^4\right);$$
   
   2) $$m^3+8n^6=\left(m-2n^2\right)\left(m^2+2mn^2+4n^4\right);$$
   
   3) $$m^3+8n^6=\left(m+2n^2\right)\left(m^2-2mn^2+4n^4\right);$$
   
   4) $$m^3+8n^6=\left(m-2n^2\right)\left(m^2-2mn^2+4n^4\right)$$?

Преобразуем левую часть тождества:

$$(m^3-n^3)^2(m^3+n^3)^2-(m^6+n^6)^2$$
$$=\bigl((m^3-n^3)(m^3+n^3)\bigr)^2-(m^6+n^6)^2$$
$$=(m^6-n^6)^2-(m^6+n^6)^2.$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(m^6-n^6)^2-(m^6+n^6)^2$$
$$=\bigl((m^6-n^6)-(m^6+n^6)\bigr)\bigl((m^6-n^6)+(m^6+n^6)\bigr)$$
$$=(-2n^6)(2m^6)=-4m^6n^6.$$

Значит, тождество доказано.

Проверим варианты:

$$m^3+8n^6=m^3+(2n^2)^3$$
$$=(m+2n^2)(m^2-2mn^2+4n^4).$$

Следовательно, верно равенство 3).

Ответ

3)