Упр.675 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:
   1) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;
   2) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на $$8$$.
2. Какому из данных выражений тождественно равен многочлен $$a^3-27$$:
   1) $$(a-3)(a^2+6a+9)$$;
   2) $$(a-3)(a^2-9)$$;
   3) $$(a-3)(a^2-3a+9)$$;
   4) $$(a-3)(a^2+3a+9)$$?

1. Пусть два последовательных чётных числа равны $$2n$$ и $$2n+2$$. Тогда
   $$(2n+2)^2-(2n)^2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2)=8n+4.$$
   С другой стороны,
   $$2\bigl((2n)+(2n+2)\bigr)=2(4n+2)=8n+4.$$
   Значит, разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел.
2. Пусть два последовательных нечётных числа равны $$2n-1$$ и $$2n+1$$. Тогда
   $$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1-(2n-1))(2n+1+(2n-1))=2\cdot 4n=8n.$$
   Следовательно, эта разность делится нацело на $$8$$.

Проверим, какому выражению тождественно равен многочлен $$a^3-27$$:
$$a^3-27=a^3-3^3=(a-3)(a^2+3a+9).$$
Значит, верно выражение $$4) \ (a-3)(a^2+3a+9).$$

Ответ

1) Верно; 2) верно; 4).