Упр.674 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел;
2) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4.
Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так, чтобы произведения чисел каждой группы были равны?

Подробный ответ

1) Пусть два последовательных натуральных числа — это $$n$$ и $$n+1$$. Тогда

$$ (n+1)^2-n^2=(n+1-n)(n+1+n)=1\cdot(2n+1)=2n+1. $$

Сумма этих чисел равна

$$ n+(n+1)=2n+1. $$

Значит, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел.

2) Пусть два последовательных чётных числа — это $$2n$$ и $$2n+2$$. Тогда

$$ (2n+2)^2-(2n)^2=((2n+2)-2n)\bigl((2n+2)+2n\bigr)=2(4n+2)=4(2n+1). $$

Следовательно, разность квадратов делится нацело на $$4$$.

3) Предположим, что числа от $$1$$ до $$32$$ можно разбить на три группы так, чтобы произведения чисел в каждой группе были равны. Тогда произведение всех чисел от $$1$$ до $$32$$ равно кубу некоторого числа.

Но среди чисел $$1,2,\dots,32$$ есть число $$29$$, и оно входит в произведение всех чисел только один раз. Значит, в разложении общего произведения на простые множители показатель при простом числе $$29$$ равен $$1$$. А у куба все показатели степеней кратны $$3$$.

Получаем противоречие. Значит, разбить числа от $$1$$ до $$32$$ на три такие группы нельзя.