Упр.672 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения:
1) $$(7n+4)^2-9$$ делится нацело на 7;
2) $$(8n+1)^2-(3n-1)^2$$ делится нацело на 11;
3) $$(3n+7)^2-(3n-5)^2$$ делится нацело на 24;
4) $$(7n+6)^2-(2n-9)^2$$ делится нацело на 15. - Возведите в куб одночлен:
1) $$y^2$$;
2) $$2x^3$$;
3) $$3a^2b^4$$;
4) $$0{,}1mn^5$$;
5) $$\frac{1}{6}b^6c^7$$;
6) $$\frac{2}{7}p^{10}k^{15}$$.
$$\begin{aligned} (7n+4)^2-9&=(7n+4)^2-3^2\\ &=(7n+4-3)(7n+4+3)\\ &=(7n+1)(7n+7)\\ &=7(7n+1)(n+1). \end{aligned}$$
Значит, выражение делится на $$7$$.$$\begin{aligned} (8n+1)^2-(3n-1)^2&=(8n+1-(3n-1))(8n+1+(3n-1))\\ &=(5n+2)(11n). \end{aligned}$$
Значит, выражение делится на $$11$$.$$\begin{aligned} (3n+7)^2-(3n-5)^2&=(3n+7-(3n-5))(3n+7+(3n-5))\\ &=12(6n+2)\\ &=24(3n+1). \end{aligned}$$
Значит, выражение делится на $$24$$.$$\begin{aligned} (7n+6)^2-(2n-9)^2&=(7n+6-(2n-9))(7n+6+(2n-9))\\ &=(5n+15)(9n-3)\\ &=5(n+3)\cdot 3(3n-1)\\ &=15(n+3)(3n-1). \end{aligned}$$
Значит, выражение делится на $$15$$.
Возведём одночлены в куб:
$$\left(y^2\right)^3=y^6.$$
$$\left(2x^3\right)^3=8x^9.$$
$$\left(3a^2b^4\right)^3=27a^6b^{12}.$$
$$\left(0{,}1mn^5\right)^3=0{,}001m^3n^{15}.$$
$$\left(\frac16 b^6c^7\right)^3=\frac1{216}b^{18}c^{21}.$$
$$\left(\frac27 p^{10}k^{15}\right)^3=\frac8{343}p^{30}k^{45}.$$
Ответ
1) делится на $$7$$; 2) делится на $$11$$; 3) делится на $$24$$; 4) делится на $$15$$.
1) $$y^6$$; 2) $$8x^9$$; 3) $$27a^6b^{12}$$; 4) $$0{,}001m^3n^{15}$$; 5) $$\frac1{216}b^{18}c^{21}$$; 6) $$\frac8{343}p^{30}k^{45}$$.
