Упр.670 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$(3x-5)^2-49=0$$;
   2) $$(4x+7)^2-9x^2=0$$;
   3) $$(a-1)^2-(2a+9)^2=0$$;
   4) $$25(3b+1)^2-16(2b-1)^2=0$$.
2. Старинная болгарская задача. Семь рыбаков ловили на озере рыбу. Первый ловил рыбу ежедневно, второй — через день, третий — через 2 дня и т. д., седьмой — через 6 дней. Сегодня все рыбаки пришли на озеро. Через какое наименьшее количество дней все семь рыбаков соберутся вместе на озере?

1. $$(3x-5)^2-49=0$$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$(3x-5-7)(3x-5+7)=0$$

   $$(3x-12)(3x+2)=0$$

   Отсюда:

   $$3x-12=0 \quad \text{или} \quad 3x+2=0$$

   $$x=4 \quad \text{или} \quad x=-\frac{2}{3}$$

2. $$(4x+7)^2-9x^2=0$$

   Это разность квадратов:

   $$(4x+7-3x)(4x+7+3x)=0$$

   $$(x+7)(7x+7)=0$$

   Тогда:

   $$x+7=0 \quad \text{или} \quad 7x+7=0$$

   $$x=-7 \quad \text{или} \quad x=-1$$

3. $$(a-1)^2-(2a+9)^2=0$$

   Разложим на множители:

   $$(a-1-2a-9)(a-1+2a+9)=0$$

   $$(-a-10)(3a+8)=0$$

   Следовательно:

   $$-a-10=0 \quad \text{или} \quad 3a+8=0$$

   $$a=-10 \quad \text{или} \quad a=-\frac{8}{3}$$

4. $$25(3b+1)^2-16(2b-1)^2=0$$

   Представим как разность квадратов:

   $$\bigl(5(3b+1)-4(2b-1)\bigr)\bigl(5(3b+1)+4(2b-1)\bigr)=0$$

   $$(15b+5-8b+4)(15b+5+8b-4)=0$$

   $$(7b+9)(23b+1)=0$$

   Тогда:

   $$7b+9=0 \quad \text{или} \quad 23b+1=0$$

   $$b=-\frac{9}{7} \quad \text{или} \quad b=-\frac{1}{23}$$

5. Семь рыбаков приходят на озеро через $$1,2,3,4,5,6,7$$ дней соответственно. Нужно найти наименьшее общее кратное этих чисел:

   $$\operatorname{НОК}(1,2,3,4,5,6,7)=420$$

   Значит, все семь рыбаков снова соберутся вместе через $$420$$ дней.

Ответ

1) $$x=-\frac{2}{3},\ 4$$; 2) $$x=-7,\ -1$$; 3) $$a=-10,\ -\frac{8}{3}$$; 4) $$b=-\frac{9}{7},\ -\frac{1}{23}$$; 5) $$420$$ дней.