Упр.665 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Представьте в виде произведения выражение:
   
   1) $$(x-2)^2-4$$;
   
   2) $$(b+7)^2-100c^2$$;
   
   3) $$121-(b+7)^2$$;
   
   4) $$a^4-(7b-a^2)^2$$;
   
   5) $$(4x-9)^2-(2x+19)^2$$;
   
   6) $$(a+b+c)^2-(a-b-c)^2$$.
2. Числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$$. Чему равно значение выражения $$a+b-2c$$?

1. $$(x-2)^2-4=(x-2)^2-2^2=(x-2-2)(x-2+2)=x(x-4).$$

2. $$(b+7)^2-100c^2=(b+7)^2-(10c)^2=(b+7-10c)(b+7+10c).$$

3. $$121-(b+7)^2=11^2-(b+7)^2=(11-b-7)(11+b+7)=(4-b)(b+18).$$

4. $$a^4-(7b-a^2)^2=(a^2)^2-(7b-a^2)^2$$

   $$=(a^2-(7b-a^2))(a^2+(7b-a^2))=(2a^2-7b)\cdot 7b.$$

5. $$(4x-9)^2-(2x+19)^2=((4x-9)-(2x+19))((4x-9)+(2x+19))$$

   $$=(2x-28)(6x+10).$$

6. $$(a+b+c)^2-(a-b-c)^2$$

   $$=\bigl((a+b+c)-(a-b-c)\bigr)\bigl((a+b+c)+(a-b-c)\bigr)$$

   $$=(2b+2c)\cdot 2a=4a(b+c).$$

Если $$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0,$$ то умножим равенство на $$2$$:

$$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0,$$

то есть

$$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0.$$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю. Значит,

$$a=b=c.$$

Тогда

$$a+b-2c=c+c-2c=0.$$

Ответ

$$x(x-4),\ (b+7-10c)(b+7+10c),\ (4-b)(b+18),\ 7b(2a^2-7b),\ (2x-28)(6x+10),\ 4a(b+c); \quad a+b-2c=0.$$