Упр.653 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Каким из данных произведений многочленов тождественно равен многочлен $$a^2-144$$:
   1) $$(a-12)^2$$;
   2) $$(a-12)(a+12)$$;
   3) $$(12-a)(12+a)$$;
   4) $$(12-a)(-12-a)$$?
2. Докажите, что выражение $$(a-3b)(a-3b-4)+4$$ принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

1) Раскроем скобки в каждом произведении:

$$(a-12)^2=a^2-24a+144$$
$$(a-12)(a+12)=a^2-144$$
$$(12-a)(12+a)=144-a^2=-(a^2-144)$$
$$(12-a)(-12-a)=a^2-144$$

Следовательно, тождественно многочлену $$a^2-144$$ равны произведения 2) и 4).

2) Преобразуем выражение:

$$(a-3b)(a-3b-4)+4$$
$$=(a-3b)^2-4(a-3b)+4$$
$$=(a-3b)^2-2\cdot 2(a-3b)+2^2$$
$$=(a-3b-2)^2$$

Квадрат любого числа неотрицателен, значит

$$(a-3b-2)^2\ge 0$$

при любых значениях переменных.

Ответ

1) $$2),\ 4)$$.

2) $$\,(a-3b-2)^2\ge 0$$, выражение неотрицательно при любых $$a$$ и $$b$$.