Упр.646 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Один автомобиль может перевезти собранный с поля урожай за 10 ч, другой — за 12 ч, а третий — за 15 ч. За сколько часов они смогут перевезти урожай, работая вместе?
2. Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях $$x$$; укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $$x$$:
   1) $$x^2-6x+10$$;
   2) $$16x^2+24x+25$$;
   3) $$x^2+x+1$$.

Пусть весь урожай равен 1. Тогда за 1 час первый автомобиль перевозит $$\frac{1}{10}$$ урожая, второй — $$\frac{1}{12}$$, третий — $$\frac{1}{15}$$.

Их совместная производительность:

$$\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15} =\frac{6+5+4}{60} =\frac{15}{60} =\frac{1}{4}.$$

Значит, весь урожай они перевезут за

$$1:\frac{1}{4}=4.$$

Рассмотрим выражения.

1. $$x^2-6x+10=x^2-6x+9+1=(x-3)^2+1.$$

   Так как $$\,(x-3)^2\ge 0,$$ то

   $$(x-3)^2+1\ge 1.$$

   Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$1$$ и достигается при $$x=3$$.

2. $$16x^2+24x+25=16x^2+24x+9+16=(4x+3)^2+16.$$

   Так как $$\,(4x+3)^2\ge 0,$$ то

   $$(4x+3)^2+16\ge 16.$$

   Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$16$$ и достигается при $$4x+3=0,$$ то есть при $$x=-\frac{3}{4}$$.

3. $$x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}.$$

   Так как $$\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge 0,$$ то

   $$\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}.$$

   Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$\frac{3}{4}$$ и достигается при $$x=-\frac{1}{2}$$.

Ответ

1) $$4$$ ч; 2) наименьшее значение $$1$$, при $$x=3$$; 3) наименьшее значение $$16$$, при $$x=-\frac{3}{4}$$; 4) наименьшее значение $$\frac{3}{4}$$, при $$x=-\frac{1}{2}$$.