Упр.646 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях х; укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х:
1) х2 — 6х + 10;
2) 16х2+24Х + 25;
3) х2+х + 1.
Пусть весь урожай равен 1. Тогда за 1 час первый автомобиль перевозит $$\frac{1}{10}$$ урожая, второй — $$\frac{1}{12}$$, третий — $$\frac{1}{15}$$.
Их совместная производительность:
$$ \frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15} =\frac{6+5+4}{60} =\frac{15}{60} =\frac{1}{4}. $$
Значит, весь урожай они перевезут за
$$ 1:\frac{1}{4}=4. $$
Рассмотрим выражения.
$$ x^2-6x+10=x^2-6x+9+1=(x-3)^2+1. $$
Так как $$\,(x-3)^2\ge 0,$$ то
$$ (x-3)^2+1\ge 1. $$
Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$1$$ и достигается при $$x=3$$.
$$ 16x^2+24x+25=16x^2+24x+9+16=(4x+3)^2+16. $$
Так как $$\,(4x+3)^2\ge 0,$$ то
$$ (4x+3)^2+16\ge 16. $$
Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$16$$ и достигается при $$4x+3=0,$$ то есть при $$x=-\frac{3}{4}$$.
$$ x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}. $$
Так как $$\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge 0,$$ то
$$ \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}. $$
Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение равно $$\frac{3}{4}$$ и достигается при $$x=-\frac{1}{2}$$.
Ответ
1) $$4$$ ч; 2) наименьшее значение $$1$$, при $$x=3$$; 3) наименьшее значение $$16$$, при $$x=-\frac{3}{4}$$; 4) наименьшее значение $$\frac{3}{4}$$, при $$x=-\frac{1}{2}$$.
