Упр.643 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Сравните значения выражений, не вычисляя их:
   1) $$253\cdot259$$ и $$252\cdot260$$;
   2) $$987654^2$$ и $$987646\cdot987662$$.
2. Докажите тождество:
   1) $$(a-1)^2+2(a-1)+1=a^2$$;
   2) $$(a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2=4b^2$$;
   3) $$(a-8)^2+2(a-8)(3-a)+(a-3)^2=25$$;
   4) $$(x^n-2)^2-2(x^n-2)(x^n+2)+(x^n+2)^2=16$$, где $$n$$ — произвольное натуральное число.

1. Сравним выражения, представив их в виде разности квадратов:

   $$253 \cdot 259 = (256 — 3)(256 + 3) = 256^2 — 9,$$

   $$252 \cdot 260 = (256 — 4)(256 + 4) = 256^2 — 16.$$

   Так как $$256^2 — 9 > 256^2 — 16,$$ то

   $$253 \cdot 259 > 252 \cdot 260.$$

2. Аналогично:

   $$987\,646 \cdot 987\,662 = (987\,654 — 8)(987\,654 + 8) = 987\,654^2 — 64.$$

   Следовательно,

   $$987\,654^2 > 987\,654^2 — 64,$$

   значит

   $$987\,654^2 > 987\,646 \cdot 987\,662.$$

3. Докажем тождество:

   $$(a-1)^2 + 2(a-1) + 1 = a^2 — 2a + 1 + 2a — 2 + 1 = a^2.$$

4. Докажем тождество:

   $$(a+b)^2 — 2(a+b)(a-b) + (a-b)^2$$

   $$= a^2 + 2ab + b^2 — 2(a^2 — b^2) + a^2 — 2ab + b^2$$

   $$= 2a^2 + 2b^2 — 2a^2 + 2b^2 = 4b^2.$$

5. Докажем тождество:

   $$(a-8)^2 + 2(a-8)(3-a) + (a-3)^2$$

   $$= a^2 — 16a + 64 + 2(3a — a^2 — 24 + 8a) + a^2 — 6a + 9$$

   $$= a^2 — 16a + 64 + 2(11a — a^2 — 24) + a^2 — 6a + 9$$

   $$= a^2 — 16a + 64 + 22a — 2a^2 — 48 + a^2 — 6a + 9 = 25.$$

6. Докажем тождество:

   $$(x^n — 2)^2 — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2$$

   $$= x^{2n} — 4x^n + 4 — 2(x^{2n} — 4) + x^{2n} + 4x^n + 4$$

   $$= x^{2n} — 4x^n + 4 — 2x^{2n} + 8 + x^{2n} + 4x^n + 4 = 16.$$

Ответ

1) $$253 \cdot 259 > 252 \cdot 260$$; 2) $$987\,654^2 > 987\,646 \cdot 987\,662$$; 3) верно; 4) верно; 5) верно; 6) верно.